Энергетика, электрические системы - основные понятия. Электрическая энергия системы зарядов Как рассчитать энергию системы зарядов

Работа поля при поляризации диэлектрика.

Энергия электрического поля.

Как и всякая материя, электрическое поле обладает энергией. Энергия является функцией состояния, а состояние поля задается напряженностью. Откуда следует, что энергия электрического поля является однозначной функцией напряжённости. Так как, то необходимо ввести представление о концентрации энергии в поле. Мерой концентрации энергии поля является её плотность:

Найдём выражение для. Рассмотрим для этого поле плоского конденсатора, считая его всюду однородным. Электрическое поле в любом конденсаторе возникает в процессе его зарядки, который можно представить как перенос зарядов от одной пластины к другой (см. рисунок). Элементарная работа, затраченная на перенос заряда равна:

где, а полная работа:

которая идет на увеличение энергии поля:

Учитывая, что (электрического поля не было), для энергии электрического поля конденсатора получаем:

В случае плоского конденсатора:

так как, - объём конденсатора, равный объёму поля. Таким образом, плотность энергии электрического поля равна:

Эта формула справедлива только в случае изотропного диэлектрика.

Плотность энергии электрического поля пропорциональна квадрату напряженности. Эта формула, хотя и получена для однородного поля, верна для любого электрического поля. В общем случае энергию поля можно вычислить по формуле:

В выражении входит диэлектрическая проницаемость. Это означает, что в диэлектрике плотность энергии больше чем в вакууме. Это связано с тем, что при создании поля в диэлектрике совершается дополнительная работа, связанная с поляризацией диэлектрика. Подставим в выражение для плотности энергии значение вектора электрической индукции:

Первое слагаемое связано с энергией поля в вакууме, второе – с работой, затраченное на поляризацию единицы объема диэлектрика.

Элементарная работа, затраченная полем на приращение вектора поляризации равна.

Работа по поляризации единицы объема диэлектрика равна:

так как, что и требовалось доказать.

Рассмотрим систему из двух точечных зарядов (см. рисунок) согласно принципу суперпозиции в любой точке пространства:

Плотность энергии электрического поля

Первое и третье слагаемые связаны с электрическими полями зарядов и соответственно, а второе слагаемое отражает электрическую энергию, связанную со взаимодействием зарядов:

Собственная энергия зарядов величина положительная, а энергия взаимодействия может быть как положительной, так и отрицательной.

В отличие от вектора энергия электрического поля – величина не аддитивная. Энергию взаимодействия можно представить более простым соотношением. Для двух точечных зарядов энергия взаимодействия равна:

которую можно представить как сумму:

где - потенциал поля заряда в месте нахождения заряда, а - потенциал поля заряда в месте нахождения заряда.

Обобщая полученный результат на систему из произвольного числа зарядов, получим:

где - заряд системы, - потенциал, создаваемый в месте нахождения заряда, всеми остальными зарядами системы.

Если заряды распределены непрерывно с объемной плотностью, сумму следует заменить объёмным интегралом:

где - потенциал, создаваемый всеми зарядами системы в элементе объемом. Полученное выражение соответствует полной электрической энергии системы.

Рассмотрим систему из двух точечных зарядов (см. рисунок) согласно принципу суперпозиции в любой точке пространства:

.

Плотность энергии электрического поля

Первое и третье слагаемые связаны с электрическими полями зарядов исоответственно, а второе слагаемое отражает электрическую энергию, связанную со взаимодействием зарядов:

Собственная энергия зарядов величина положительная
, а энергия взаимодействия может быть как положительной, так и отрицательной
.

В отличие от вектора энергия электрического поля – величина не аддитивная. Энергию взаимодействия можно представить более простым соотношением. Для двух точечных зарядов энергия взаимодействия равна:

,

которую можно представить как сумму:

где
- потенциал поля зарядав месте нахождения заряда, а
- потенциал поля зарядав месте нахождения заряда.

Обобщая полученный результат на систему из произвольного числа зарядов, получим:

,

где -
заряд системы,- потенциал, создаваемый в месте нахождения
заряда,всеми остальными зарядами системы.

Если заряды распределены непрерывно с объемной плотностью , сумму следует заменить объёмным интегралом:

,

где - потенциал, создаваемый всеми зарядами системы в элементе объемом
. Полученное выражение соответствуетполной электрической энергии системы.

Примеры.

Заряженный металлический шар в однородном диэлектрике .

На этом примере мы выясним почему электрические силы в диэлектрике меньше чем в вакууме и рассчитаем электрическую энергию такого шара.

Напряжённость поля в диэлектрике меньше напряжённости в вакууме враз
.

Это связано с поляризацией диэлектрика и возникновением у поверхности проводника связанного заряда противоположного знака заряда проводника(см. рисунок). Связанные зарядыэкранируют поле свободных зарядов, уменьшая его всюду. Напряжённость электрического поля в диэлектрике, равна сумме
, где
- напряжённость поля свободных зарядов,
- напряжённость поля связанных зарядов. Учитывая, что
, находим:

→
→

→
→
→

.

Поделив на площадь поверхности проводника, находим связь между поверхностной плотностью связанных зарядов
и поверхностной плотностью свободных зарядов:

.

Полученное соотношение пригодно для проводника любой конфигурации в однородном диэлектрике.

Найдём энергию электрического поля шара в диэлектрике:

Здесь учтено, что
, а элементарный объём с учётом сферической симметрии поля выбран в форме шарового слоя.– ёмкость шара.

Так как зависимость напряжённости электрического поля внутри и вне шара от расстояния до центра шара rописывается различными функциями:

вычисление энергии сводится к сумме двух интегралов:

.

Отметим, что на поверхности и в объёме диэлектрического шара возникают связанные заряды:

,
,

где
- объёмная плотность свободных зарядов в шаре.

Доказательство проведите самостоятельно, используя связи
,
и теорему Гаусса
.

Собственная энергия каждой оболочки равны соответственно (см. пример 1.):

,
,

а энергия взаимодействия оболочек:

.

Полная энергия системы равна:

.

Если оболочки заряжены одинаковыми по величине зарядами противоположного знака
(сферический конденсатор), полная энергия будет равна:

где
- ёмкость сферического конденсатора.

Напряжение, приложенное к конденсатору равно:

,

где и- напряжённость электрического поля в слоях.

Электрическая индукция в слоях:

- поверхностная плотность свободных зарядов на пластинах конденсатора.

Учитывая связь
из определения ёмкости, получаем:

.

Полученная формула легко обобщается на случай многослойного диэлектрика:

.

Энергетический подход к взаимодействию. Энергети­ческий подход к взаимодействию электрических зарядов является, как мы увидим, весьма плодотворным по своим практическим применениям, а кроме того, открывает воз­можность по-иному взглянуть и на само электрическое поле как физическую реальность.

Прежде всего мы выясним, как можно прийти к поня­тию о энергии взаимодействия системы зарядов.

1. Сначала рассмотрим систему из двух точечных зарядов 1 и 2. Найдем алгебраическую сумму элементар­ных работ сил F, и F2, с которыми эти заряды взаимодей­ствуют. Пусть в 1гекоторой К-системе отсчета за время cU заряды совершили перемещения dl, и dl 2. Тогда со­ответствующая работа этих сил

6Л, 2 = F, dl, + F2 dl2.

Учитывая, что F2 = - F, (по третьему закону Ньюто­на) , перепишем предыдущее выражение: Mlj, = F,(dl1-dy.

Величина в скобках - это перемещение заряда 1 от­носительно заряда 2. Точнее, это есть перемещение заря­да/в /("-системе отсчета, жестко связанной с зарядом 2 и перемещающейся вместе с ним поступательно по отношению к исходной /(-системе. Действительно, пере­мещение dl, заряда 1 в /(-системе может быть представ­лено как перемещение dl2 /("-системы плюс перемещение dl, заряда / относительно этой /("-системы: dl, = dl2+dl,. Отсюда dl, - dl2 = dl", и

Итак, оказывается, что сумма элементарных работ в произвольной /(-системе отсчета всегда равна элемен­тарной работе, которую совершает сила, действующая на один заряд, в системе отсчета, где другой заряд по­коится. Иначе говоря, работа 6Л12 не зависит от выбора исходной /(-системы отсчета.

Сила F„ действующая на заряд / со стороны заряда 2, консервативная (как сила центральная). Поэтому работа данной силы на перемещении dl, может быть представлена как убыль потенциальной энергии заряда 1 в поле заряда 2 или как убыль потенциальной энергии взаимодействия рассматриваемой пары зарядов:

где 2 - величина, зависящая только от расстояния между этими зарядами.

2. Теперь перейдем к системе из т р е х точечных за­рядов (полученный для этого случая результат легко будет обобщить на систему из произвольного числа зарядов). Работа, которую совершают все силы взаимо­действия при элементарных перемещениях всех зарядов, может быть представлена как сумма работ всех трех пар взаимодействий, т. е. 6Л = 6Л (2 + 6Л, 3 + 6Л 2 3. Но для каждой пары взаимодействий, как только что было пока­зано, 6Л ik = - d Wik, поэтому

где W - энергия взаимодействия данной системы зарядов,

W «= wa + Wtз + w23.

Каждое слагаемое этой суммы зависит от расстояния между соответствующими зарядами, поэтому энергия W

данной системы зарядов есть функция ее конфигурации.

Подобные рассуждения, очевидно, справедливы и для системы из любого числа зарядов. Значит, можно утверждать, что каждой конфигурации произвольной си­стемы зарядов присуще свое значение энергии W и рабо­та всех сил взаимодействия при изменении этой конфигу­рации равна убыли энергии W:

бл = -аг. (4.1)

Энергия взаимодействия. Найдем выражение для энергии W. Сначала рассмотрим опять систему из трех точечных зарядов, для которой мы показали, что W = - W12+ ^13+ ^23- Преобразуем эту сумму следующим образом. Представим каждое слагаемое Wik в симметрич­ном виде: Wik= ]/2{Wlk+ Wk), поскольку Wik=Wk, Тогда

Сгруппируем члены с одинаковыми первыми индексами:

Каждая сумма в круглых скобках - это энергия Wt взаи­модействия г-го заряда с остальными зарядами. Поэтому последнее выражение можно переписать так:

Обобщение произвольного

полученного выражения на систему из числа зарядов очевидно, ибо ясно, что проведенные рассуждения совершенно не зависят от числа зарядов, состав­ляющих систему. Итак, энергия взаимо­действия системы точечных зарядов

Имея в виду, что Wt = <7,9, где qt - i-й заряд системы; ф,- потен­циал, создаваемый в месте нахождения г-го заряда всеми остальными зарядами системы, получим окончательное выражение для энергии взаимодействия системы точечных зарядов:

Пример. Четыре одинаковых точечных заряда q находятся в вершинах тетраэдра с ребром а (рис. 4.1). Найти энергию взаимодействия зарядов этой системы.

Энергия взаимодействия каждой пары зарядов здесь одина­кова и равна = q2/Але0а. Всего таких взаимодействующих пар, как видно из рисунка, шесть, поэтому энергия взаимодей­ствия всех точечных зарядов данной системы

W = 6№, = 6<72/4яе0а.

Иной подход к решению этого вопроса основан на исполь­зовании формулы (4.3). Потенциал ф в месте нахождения одного из зарядов, обусловленный полем всех остальных заря­дов, равен ф = 3<7/4яе0а. Поэтому

Полная энергия взаимодействия. Если заряды распре­делены непрерывно, то, разлагая систему зарядов на со­вокупность элементарных зарядов dq = р dV и переходя от суммирования в (4.3) к интегрированию, получаем

где ф - потенциал, создаваемый всеми зарядами систе­мы в элементе объемом dV. Аналогичное выражение можно записать для распределения зарядов, например, по поверхности; для этого достаточно в формуле (4.4) заменить р на о и dV на dS.

Можно ошибочно подумать (и это часто приводит к недоразумениям), что выражение (4.4) -это только видоизмененное выражение (4.3), соответствующее заме­не представления о точечных зарядах представлением о непрерывно распределенном заряде. В действительно­сти это не так - оба выражения отличаются по своему содержанию. Происхождение этого различия - в разном смысле потенциала ф, входящего в оба выраже­ния, что лучше всего пояснить на следующем примере.

Пусть система состоит из двух шариков, имеющих за­ряды д, и q2" Расстояние между шариками значительно больше их размеров, поэтому заряды ql и q2 можно счи­тать точечными. Найдем энергию W данной системы с помощью обеих формул.

Согласно формуле (4.3)

W= "AUitPi + 2> где, ф[ - потенциал, создаваемый зарядом q2 в месте

нахождения заряда аналогичный смысл имеет

и потенциал ф2.

Согласно же формуле (4.4) мы должны разбить заряд каждого шарика на бесконечно малые элементы р AV и каждый из них умножить на потенциал ф, создаваемый не только зарядами другого шарика, но и элементами заряда этого шарика. Ясно, что результат будет совершенно другим, а именно:

W=Wt + W2+Wt2, (4.5)

где Wt - энергия взаимодействия друг с другом элемен­тов заряда первого шарика; W2 - то же, но для второго шарика; Wi2 - энергия взаимодействия элементов заря­да первого шарика с элементами заряда второго шарика. Энергии W, и W2 называют собственными энер­гиями зарядов qx и q2, a W12-энергией взаи­модействия заряда с зарядом q2.

Таким образом, мы видим, что расчет энергии W по формуле (4.3) дает только Wl2, а расчет по формуле (4.4)-полную энергию взаимодействия: кроме W{2 еще и собственные энергии IF, и W2. Игнори­рование этого обстоятельства зачастую является источ­ником грубых ошибок.

К данному вопросу мы еще вернемся в § 4.4, а сейчас получим с помощью формулы (4.4) несколько важных результатов.

1. Сначала рассмотрим систему, состоящую из двух точечных зарядов 1 и 2. Найдем алгебраическую сумму элементар­ных работ сил f 1 и F 2 , с которыми эти заряды взаимодействуют. Пусть в некоторой K-системе отсчета за время dt заряды совершили перемещения dl 1 и dl 2 . Тогда работа этих сил δА 1,2 = F 1 dl 1 +F 2 dl 2 . Учитывая, что F 2 = -F l (по третьему закону Ньютона): δА 1,2 = F 1 (dl 1 - dl 2). Величина в скобках - это перемещение заряда 1 относительно заряда 2. Точнее, это есть перемещение заряда 1 в K"-системе отсчета, жестко связанной с зарядом 2 и перемещающейся вместе с ним поступательно по отношению к исходной K-системе. Действительно, перемещение dl 1 заряда 1 в K-системе мо­жет быть представлено как перемещение dl 2 K"-системы плюс перемещение dl 1 заряда 1 относительно этой K"-системы: dl 1 = dl 2 + dl 1 . Отсюда dl 1 -dl 2 = dl` 1 и δА 1,2 = F 1 dl` 1 . Работа δA1,2 не зависит от выбора исходной K-системы отсчета. Сила F 1 действующая на заряд 1 со стороны заряда 2, консервативна (как сила центральная). Поэтому работа данной силы на перемещении dl` 1 может быть представлена как убыль потенциальной энергии заряда 1 в поле заряда 2 или как убыль потенциальной энергии взаимодействия этой пары зарядов: δА 1,2 = -dW 1,2 , где W12 - величина, зависящая только от расстояния между данными зарядами.

2. Перейдем к системе из трех точечных зарядов (полученный для этого случая результат легко будет обобщить на систему из произвольного числа зарядов). Работа, которую совершают все силы взаимодействия при элементарных перемещениях всех зарядов, может быть представлена как сумма работ всех трех пар взаимодействий, т. е. δА = δA 1,2 + δA 1,3 + δА 2,3 . Но для каждой пары взаимодействий δA i,k = -dW ik , поэтому δА = -d(W 12 + W 13 +W 23)=-dW, где W - энергия взаимодействия данной системы зарядов, W = W 12 + W 13 +W 23 . Каждое слагаемое этой суммы зависит от расстояния между соответствующими зарядами, поэтому энергия W данной системы зарядов есть функция ее конфигурации. Подобные рассуждения справедливы и для системы из любого числа зарядов. Значит, можно утверждать, что каждой конфигурации произвольной системы зарядов присуще свое значение энергии W, и δА = -dW.

Энергия взаимодействия . Рассмотрим систему из трех точечных зарядов, для которой показано, что W = W 12 + W 13 + W 23 . Представим каждое слагаемое W ik в симметричном виде: W ik = (W ik + W ki)/2, поскольку W ik = W ki . Тогда W = (W 12 + W 21 + W 13 + W 3l + W 23 + W 32)/2. Сгруппируем члены: W=[(W 12 +W 13) + (W 21 +W 23) + (W 3l +W 32)]/2. Каждая сумма в круглых скобках - это энергия Wi взаимодействия i-гo заряда с остальными зарядами. Поэтому:

Имея в виду, что W i = q i φ i , где q i - i-й заряд системы; φ i -потенциал, создаваемый в месте нахождения i-ro заряда всеми остальными зарядами системы, получим окончательное выражение для энергии взаимодействия системы точечных зарядов:

Полная энергия взаимодействия . Если заряды распределены непрерывно, то, разлагая систему зарядов на совокупность элементарных зарядов dq = ρdV и переходя от суммирования в (4.3) к интегрированию, получаем

(4.4), где φ - потенциал, создаваемый всеми зарядами системы в элементе объемом dV. Аналогичное выражение можно записать для распределения зарядов по поверхности, заменив ρ на σ и dV на dS. Пусть система состоит из двух шаров, имеющих заряды q 1 и q 2 . Расстояние между шарами значительно больше их размеров поэтому заряды q l и q 2 можно считать точечными. Найти энергию W данной системы с помощью обеих формул. Согласно формуле (4.3),где φ 1 - потенциал, создаваемый зарядом q 2 в месте нахожде­ния заряда q 1 , аналогичный смысл имеет и потенциал φ 2 . Согласно же формуле (4.4) нужно разбить заряд каждо­го шарика на бесконечно малые элементы ρdV и каждый из них умножить на потенциал φ, создаваемый не только зарядами другого шарика, но и элементами заряда этого шарика. Тогда: W = W 1 + W 2 + W 12 (4.5), где W 1 - энергия взаимодействия друг с другом элементов за­ряда первого шарика; W 2 - то же, но для второго шарика; W 12 - энергия взаимодействия элементов заряда первого ша­рика с элементами заряда второго шарика. Энергии W 1 и W 2 называют собственными энергиями зарядов q 1 и q 2 , a W 12 -энергией взаимодействия заряда q 1 с зарядом q 2 .

Энергия уединенного проводника . Пусть проводник имеет заряд q и потенциал φ. Поскольку значение φ во всех точках, где имеется заряд, одинаково, φ можно вынести из-под знака интеграла в формуле (4.4). Тогда оставшийся интеграл есть не что иное, как заряд q на проводнике, и W=qφ/2=Cφ 2 /2=q 2 /2C (4.6).(C учетом того, что С = q/φ).

Энергия конденсатора . Пусть q и φ - заряд и потенциал положительно заряженной обкладки конденсатора. Согласно формуле (4.4) интеграл можно разбить на две части - для одной и другой обкладок. Тогда

W = (q + φ + –q _ φ_)/2. Т. к. q_ = –q + , то W = q + (φ + –φ_)/2 = qU/2, где q=q + - заряд конденсатора, U - разность потенциалов на обкладках. С=q/U => W= qU/2=CU 2 /2=q 2 /2C(4.7). Рассмотрим процесс зарядки конденсатора как перенос заряда малыми порциями dq" с одной обкладки на другую. Элементарная работа, совершенная нами при этом против сил поля, запишется как д А=U’dq’=(q’/C)dq’, где U’ - разность потенциалов между обкладками в момент, когда переносится очередная порция заряда dq". Проинтегрировав это выражение по q" от 0 до q, получим А = q 2 /2C, что совпадает с выражением для полной энергии конденсатора. Кроме того, полученное выражение для работы А справедливо и в том случае, когда между обкладками конденсатора имеется произвольный диэлектрик. Это относится и к формулам (4.6).

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

Электрическая энергия системы зарядов

На сайте сайт читайте: "электрическая энергия системы зарядов"

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

· Потенциал электрического поля есть величина, равная отношению потенциальной энергии точечного положительного заряда, помещенную в данную точку поля, к этому заряду

или потенциал электрического поля есть величина, равная отношению работы сил поля по перемещению точечного положительного заряда из данной точки поля в бесконечность к этому заряду:

Потенциал электрического поля в бесконечности условно принят равным нулю.

Отметим, что при перемещении заряда в электрическом поле работа A в.с внешних сил равна по модулю работе A с.п сил поля и противоположна ей по знаку:

A в.с = – A с.п.

· Потенциал электрического поля, создаваемый точечным зарядом Q на расстоянии r от заряда,

· Потенциал электрического поля, создаваемого металлической, несущей заряд Q сферой радиусом R , на расстоянии r от центра сферы:

внутри сферы (r <R) ;

на поверхности сферы (r =R) ;

вне сферы (r>R) .

Во всех приведенных для потенциала заряженной сферы формулах e есть диэлектрическая проницаемость однородного безграничного диэлектрика, окружающего сферу.

· Потенциал электрического поля, созданного системой п точечных зарядов, в данной точке в соответствии с принципом суперпозиции электрических полей равен алгебраическойсуммепотенциалов j 1 , j 2 , ... , j n , создаваемых отдельными точечными зарядами Q 1 , Q 2 , ..., Q n :

· Энергия W взаимодействия системы точечных зарядов Q 1 , Q 2 , ..., Q n определяется работой, которую эта система зарядов может совершить при удаленииих относительно друг друга в бесконечность, и выражается формулой

где - потенциал поля, создаваемого всеми п– 1 зарядами (за исключением i -го) в точке, где расположен заряд Q i .

· Потенциал связан с напряженностью электрического поля соотношением

В случае электрического поля, обладающего сферической симметрией, эта связь выражается формулой

или в скалярной форме

а в случае однородного поля, т. е. поля, напряженность которого в каждой точке его одинакова как по модулю, так и по направлению

где j 1 и j 2 - потенциалы точек двух эквипотенциальных поверхностей; d – расстояние между этими поверхностями вдоль электрической силовой линии.

· Работа, совершаемая электрическим полем при перемещении точечного заряда Q из одной точки поля, имеющей потенциал j 1 , в другую, имеющую потенциал j 2

A =Q ∙ (j 1 – j 2 ), или

где E l - проекция вектора напряженности на направление перемещения; dl - перемещение.

В случае однородного поля последняя формула принимает вид

A=Q∙E∙l∙cosa ,

где l - перемещение; a - угол между направлениями вектора и перемещения .

Диполь есть система двух точечных электрических зарядов равных по размеру и противоположных по знаку, расстояние l ме­жду которыми значительно меньше расстояния r от центра диполя до точек наблюдения.

Вектор проведенный от отрицательного заряда диполя к его положительному заряду, называется плечом диполя.

Произведение заряда |Q | диполя на его плечо называется электрическим моментом диполя:

· Напряженность поля диполя

где р - электрический момент диполя; r - модуль радиуса-вектора, проведенного от центра диполя к точке, напряженность поля в которой нас интересует; α- угол между радиусом-вектором и плечом диполя.

· Потенциал поля диполя

· Механический момент, действующий на диполь с электрическим моментом , помещенный в однородное электрическое поле с напряженностью

илиM=p∙E∙ sin ,

где α- угол между направлениями векторов и .

В неоднородном электрическом поле кроме механического момента (пары сил) на диполь действует еще некоторая сила. В случае поля, обладающего симметрией относительно оси х ,сила выражается соотношением

где - частная производная напряженности поля, характеризующая степень неоднородности поля в направлении оси х.

При сила F х положительна. Это значит, что под действием ее диполь втягивается в область сильного поля.

Потенциальная энергия диполя в электрическом поле