Примеры решений. Правила Лопиталя. Примеры решений Правило лопиталя примеры

Изложен метод решения пределов, используя правило Лопиталя. Приводятся формулировки соответствующих теорем. Подробно разобраны примеры решения пределов, содержащих неопределенности ∞/∞, 0/0, 0 в степени 0 и ∞ - ∞, с помощью правила Лопиталя.

Содержание

См. также: Правила вычисления производных

Метод решения

Одним из самых мощных методов раскрытия неопределенностей и вычисления пределов функций является использование правила Лопиталя. Оно позволяет раскрывать неопределенности вида 0/0 или ∞/∞ в конечной или бесконечно удаленной точке, которую мы обозначим как x 0 . Правило Лопиталя заключается в том, что мы находим производные числителя и знаменателя дроби. Если существует предел , .
Если после дифференцирования мы опять получаем неопределенность, то процесс можно повторить, то есть применить правило Лопиталя уже к пределу . И так далее, до раскрытия неопределенности.

Для применения этого правила, должна существовать такая проколотая окрестность точки x 0 , на которой функции в числителе и знаменателе являются дифференцируемыми и функция в знаменателе и ее производная не обращается в нуль.

Применение правила Лопиталя состоит из следующих шагов.
1) Приводим неопределенность к виду 0/0 или ∞/∞ . Для этого, если требуется, выполняем преобразования и делаем замену переменной . В результате получаем предел вида .
2) Убеждаемся, что существует такая проколотая окрестность точки x 0 , на которой функции в числителе и знаменателе являются дифференцируемыми и знаменатель и его производная не обращаются в нуль.
3) Находим производные числителя и знаменателя.
4) Если имеется конечный или бесконечный предел , то задача решена: .
5) Если предела не существует, то это не означает, что не существует исходного предела. Это означает, что данную задачу решить с помощью правила Лопиталя нельзя. Нужно применить другой метод (см. пример ниже).
6) Если в пределе вновь возникает неопределенность, то к нему также можно применить правило Лопиталя, начиная с пункта 2).

Как указывалось выше, применение правила Лопиталя может привести к функции, предела которой не существует. Однако это не означает, что не существует исходного предела. Рассмотрим следующий пример.
.
Применяем правило Лопиталя. , .
Однако предела не существует. Не смотря на это, исходная функция имеет предел:
.

Правило Лопиталя. Формулировки теорем

Здесь мы приводим формулировки теорем, на которых основывается раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя.

Теорема о раскрытии неопределенности 0/0
Пусть функции f и g имеют производные в проколотой (двусторонней или односторонней) окрестности конечной или бесконечно удаленной () точки , причем и не равны нулю в этой окрестности. И пусть
.
,
то существует равный ему предел
.

Теорема о раскрытии неопределенности ∞/∞
Пусть функции f и g имеют производные в проколотой (двусторонней или односторонней) окрестности конечной или бесконечно удаленной () точки , причем не равна нулю в этой окрестности. И пусть
.
Тогда, если существует конечный или бесконечный предел
,
то существует равный ему предел
.
Здесь для двусторонней окрестности. Для односторонней окрестности, , или .

Примеры

Пример 1

Показать, что экспонента растет быстрее любой степенной функции, а логарифм - медленнее. То есть показать, что
А) ;
Б) ,
где .

Рассмотрим предел А). При . Это неопределенность вида . Для ее раскрытия применим правило Лопиталя. Пусть
.
Находим производные. . Тогда
.
Если , то неопределенность исчезает, поскольку при . По правилу Лопиталя,
.

Если , то применяем правило Лопиталя n раз, где - целая часть числа b .
;

.
Поскольку , то . Хотя мы привыкли читать слева направо, но эту серию равенств следует читать справа налево следующим образом. Поскольку существует предел , то существует равный ему предел . Поскольку существует предел , то существует равный ему предел . И так далее, пока не дойдем до предела .

Теперь рассмотрим предел Б):
. Сделаем замену переменной . Тогда ; при ; .

Пример 2

Найти предел с помощью правила Лопиталя:
.

Это неопределенность вида 0/0 . Находим по правилу Лопиталя.

.

Здесь, после первого применения правила мы снова получили неопределенность. Поэтому применили правило Лопиталя второй раз. Эту серию равенств нужно читать справа налево следующим образом. Поскольку существует предел , то существует равный ему предел . Поскольку существует предел , то существует равный ему исходный предел .

Пример 3

Вычислить предел, используя правило Лопиталя.
.

Найдем значения числителя и знаменателя при :
;

.
Числитель и знаменатель равны нулю. Мы имеем неопределенность вида 0/0 . Для ее раскрытия, применим правило Лопиталя.

.

Пример 4

Решить предел с помощью правила Лопиталя.
.

Здесь мы имеем неопределенность вида (+0) +0 . Преобразуем ее к виду +∞/+∞ . Для этого выполняем преобразования.
.

Находим предел в показателе степени, применяя правило Лопиталя.
.

Поскольку экспонента - непрерывная функция для всех значений аргумента, то
.

Пример 5

Найти предел используя правило Лопиталя:
.

Здесь мы имеем неопределенность вида ∞ - ∞ . Приводя дроби к общему знаменателю, приведем ее к неопределенности вида 0/0 :
.

Применяем правило Лопиталя.
;
;
.

Здесь у нас снова неопределенность вида 0/0 . Применяем правило Лопиталя еще раз.
;

;
.

Окончательно имеем:

.
Как и во всех пределах, вычисляемых с помощью правила Лопиталя, читать нужно с конца. Поскольку существует предел , то существует равный ему предел . Поскольку существует предел , то существует равный ему исходный предел .

Примечание. Можно упростить вычисления, если воспользоваться теоремой о замене функций эквивалентными в пределе частного . Согласно этой теореме, если функция является дробью или произведением множителей, то множители можно заменить на эквивалентные функции. Поскольку при , то

.

Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Москва, 2003.

См. также:

Применение правила Лопиталя необходимо для вычисления пределовпри получении неопределенностей вида 0 0 и ∞ ∞ .

Имеются неопределенности вида 0 · ∞ и ∞ - ∞ .

Самой важной частью правила Лопиталяявляется дифференцирование функции и нахождение ее производной.

Правило Лопиталя

Определение 1

Когда lim x → x 0 f (x) g (x) = 0 0 или ∞ ∞ и функции f (x) , g (x) являются дифференцируемыми в пределах точки х 0 , тогда lim x → x 0 f (x) g (x) = lim x → x 0 f " (x) g " (x) .

Если неопределенность нерешаема после применения правила Лопиталя, тогда необходимо снова его применить. Для полного понятия рассмотрим несколько примеров.

Пример 1

Произвести вычисления, применив правило Лопиталя lim x → 0 sin 2 (3 x) x · cos (x) .

Решение

Для решения по правилу Лопиталя для начала необходимо произвести подстановку. Получаем, что lim x → 0 sin 2 (3 x) x · cos (x) = sin 2 (3 · 0) 0 · cos (0) = 0 0 .

Теперь можно переходить к вычислению пределов, используя правило. Получаем, что

lim x → 0 sin 2 (3 x) x · cos (x) = 0 0 = lim x → 0 sin 2 (3 x) " x · cos (x) " = lim x → 0 2 sin (3 x) (sin (3 x)) " x " · cos (x) + x · (cos (x)) " = = lim x → 0 6 sin (3 x) cos (3 x) cos (x) - x · sin (x) = 6 sin (3 · 0) cos (3 · 0) cos (0) - 0 · sin (0) = 0 1 = 0

Ответ: lim x → 0 sin 2 (3 x) x · cos (x) = 0 .

Пример 2

Вычислить предел заданной функции lim x → ∞ ln (x) x .

Решение

Производим постановку бесконечностью. Получаем, что

lim x → ∞ ln (x) x = ln (∞) ∞ = ∞ ∞

Полученная неопределенность указывает на то, что необходимо применить правило Лопиталя. Имеем, что

lim x → ∞ ln (x) x = ∞ ∞ = lim x → ∞ ln (x) " x " = lim x → ∞ 1 x 1 = 1 ∞ = 0

Ответ: lim x → ∞ ln (x) x = 0

Пример 3

Вычислить предел заданной функции lim x → 0 + 0 (x 4 ln (x))

Решение

Производим подстановку значения x . получаем, что

lim x → 0 + 0 (x 4 ln (x)) = (0 + 0) 4 · ln (0 + 0) = 0 · (- ∞)

Решение привело к неопределенности вида ноль умноженный на отрицательную бесконечность. Это указывает на то, что необходимо обратиться к таблице неопределенностей и принять решения для выбора метода нахождения этого предела. После преобразования применяем правило Лопиталя. Получаем, что

lim x → 0 + 0 (x 4 ln (x)) = 0 · (- ∞) = lim x → 0 + 0 ln (x) x - 4 = ln (0 + 0) (0 + 0) - 4 = - ∞ + ∞

Приход к неопределенности говорит о том, что необходимо повторное применение этого правила. Имеем, что

lim x → 0 + 0 (x 4 ln (x)) = 0 · (- ∞) = lim x → 0 + 0 ln (x) x - 4 = - ∞ + ∞ = = lim x → 0 + 0 (ln (x)) " (x - 4) " = lim x → 0 + 0 1 x - 4 - 5 = - 1 4 lim x → 0 + 0 1 x - 4 = - 1 4 · 1 (0 + 0) - 4 = = - 1 4 · (0 + 0) 4 = 0

Ответ: lim x → 0 + 0 (x 4 ln (x)) = 0

Пример 4

Выполнить вычисление предела функции lim x → 0 c t g 2 (x) - 1 x 2 .

Решение

После подстановки получаем

lim x → 0 c t g 2 (x) - 1 x 2 = ∞ - ∞

Наличие неопределенности указывает на то, что следует использовать правило Лопиталя. Получаем, что

lim x → 0 c t g 2 (x) - 1 x 2 = ∞ - ∞ = lim x → 0 cos 2 (x) sin 2 (x) - 1 x 2 = = lim x → 0 x 2 cos 2 (x) - sin 2 (x) x 2 sin 2 (x) = lim x → 0 x cos x - sin x x cos x + sin x x 2 sin 2 (x) = = lim x → 0 x cos x - sin x x sin 2 (x) x cos x + sin x x = lim x → 0 x cos x - sin x x sin 2 (x) cos x + sin x x = = lim x → 0 cos x + sin x x lim x → 0 x cos x - sin x x sin 2 (x) = 2 lim x → 0 x cos x - sin x x sin 2 (x) = = 2 0 · cos (0) - sin (0) 0 · sin 2 (0) = 0 0

Для последнего перехода использовался первый замечательный предел. После чего приходим к решению по Лопиталю. Получим, что

2 lim x → 0 x cos x - sin x x sin 2 (x) = 0 0 = 2 lim x → 0 (x cos x - sin x) " (x sin 2 (x)) " = = 2 lim x → 0 cos x - x sin x - cos x sin 2 (x) + 2 x sin x cos x = 2 lim x → 0 - x sin (x) + 2 x cos x = 0 0

Так как неопределенность не ушла, необходимо еще одно применение правила Лопиталя. Получаем предел вида

2 lim x → 0 - x sin (x) + 2 x cos x = 0 0 = 2 lim x → 0 - x " sin (x) + 2 x cos x " = = 2 lim x → 0 1 cos x + 2 cos x - 2 x sin x = - 2 · 1 3 · cos (0) - 2 · 0 · sin (0) = - 2 3

Ответ: lim x → 0 c t g 2 (x) - 1 x 2 = - 2 3

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Мы уже начали разбираться с пределами и их решением. Продолжим по горячим следам и разберемся с решением пределов по правилу Лопиталя . Этому простому правилу по силам помочь Вам выбраться из коварных и сложных ловушек, которые преподаватели так любят использовать в примерах на контрольных по высшей математике и матанализу. Решение правилом Лопиталя – простое и быстрое. Главное – уметь дифференцировать.

Правило Лопиталя: история и определение

На самом деле это не совсем правило Лопиталя, а правило Лопиталя-Бернулли . Сформулировал его швейцарский математик Иоганн Бернулли , а француз Гийом Лопиталь впервые опубликовал в своем учебнике бесконечно малых в славном 1696 году. Представляете, как людям приходилось решать пределы с раскрытием неопределенностей до того, как это случилось? Мы – нет.

Прежде чем приступать к разбору правила Лопиталя, рекомендуем прочитать вводную статью про пределы в математике и методы их решений. Часто в заданиях встречается формулировка: найти предел, не используя правило Лопиталя. О приемах, которые помогут Вам в этом, также читайте в нашей статье.

Если имеешь дело с пределами дроби двух функций, будь готов: скоро встретишься с неопределенностью вида 0/0 или бесконечность/бесконечность. Как это понимать? В числителе и знаменателе выражения стремятся к нулю или бесконечности. Что делать с таким пределом, на первый взгляд – совершенно непонятно. Однако если применить правило Лопиталя и немного подумать, все становится на свои места.

Но сформулируем правило Лопиталя-Бернулли. Если быть совершенно точными, оно выражается теоремой. Правило Лопиталя, определение:

Если две функции дифференцируемы в окрестности точки x=a обращаются в нуль в этой точке, и существует предел отношения производных этих функций, то при х стремящемся к а существует предел отношения самих функций, равный пределу отношения производных.

Запишем формулу, и все сразу станет проще. Правило Лопиталя, формула:

Так как нас интересует практическая сторона вопроса, не будем приводить здесь доказательство этой теоремы. Вам придется или поверить нам на слово, или найти его в любом учебнике по математическому анализу и убедится, что теорема верна.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя

В раскрытии каких неопределенностей может помочь правило Лопиталя? Ранее мы говорили в основном о неопределенности 0/0 . Однако это далеко не единственная неопределенность, с которой можно встретиться. Вот другие виды неопределенностей:

Рассмотрим преобразования, с помощью которых можно привести эти неопределенности к виду 0/0 или бесконечность/бесконечность. После преобразования можно будет применять правило Лопиталя-Бернулли и щелкать примеры как орешки.

Неопределенность вида бесконечность/бесконечность сводится к неопределенность вида 0/0 простым преобразованием:

Пусть есть произведение двух функций, одна из которых первая стремиться к нулю, а вторая – к бесконечности. Применяем преобразование, и произведение нуля и бесконечности превращается в неопределенность 0/0 :

Для нахождения пределов с неопределенностями типа бесконечность минус бесконечность используем следующее преобразование, приводящее к неопределенности 0/0 :

Для того чтобы пользоваться правилом Лопиталя, нужно уметь брать производные. Приведем ниже таблицу производных элементарных функций, которой Вы сможете пользоваться при решении примеров, а также правила вычисления производных сложных функций:

Теперь перейдем к примерам.

Пример 1

Найти предел по правилу Лопиталя:

Пример 2

Вычислить с использованием правила Лопиталя:

Важный момент! Если предел вторых и последующих производных функций существует при х стремящемся к а , то правило Лопиталя можно применять несколько раз.

Найдем предел (n – натуральное число). Для этого применим правило Лопиталя n раз:

Желаем удачи в освоении математического анализа. А если Вам понадобится найти предел используя правило Лопиталя, написать реферат по правилу Лопиталя, вычислить корни дифференциального уравнения или даже рассчитать тензор инерции тела, обращайтесь к нашим авторам . Они с радостью помогут разобраться в тонкостях решения.

• Правило Лопиталя и раскрытие неопределённостей
• Раскрытие неопределённостей видов "ноль делить на ноль" и "бесконечность делить на бесконечность"
• Раскрытие неопределённостей вида "ноль умножить на бесконечность"
• Раскрытие неопределённостей видов "ноль в степени ноль", "бесконечность в степени ноль" и "один в степени бесконечность"
• Раскрытие неопределённостей вида "бесконечность минус бесконечность"

Правило Лопиталя и раскрытие неопределённостей

Раскрытие неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ и некоторых других неопределённостей значительно упрощается с помощью правила Лопиталя.

Суть правила Лопиталя состоит в том, что в случае, когда вычисление предела отношений двух функций даёт неопределённости видов 0/0 или ∞/∞, предел отношения двух функций можно заменить пределом отношения их производных и, таким образом, получить определённный результат.

Вообще, под правилами Лопиталя понимаются несколько теорем, которые могут быть переданы в следующей одной формулировке.

Правило Лопиталя . Если функции f (x ) и g (x ) дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением, может быть, самой точки , причём в этой окрестности

(1)

Иными словами, для неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ предел отношения двух функций равен пределу отношения их производных, если последний существует (конечный или бесконечный).

В равенстве (1) величина , к которой стремится переменная, может быть либо конечным числом, либо бесконечностью, либо минус бесконечностью.

К неопределённостям видов 0/0 и ∞/∞ могут быть сведены и неопределённости других видов.

Раскрытие неопределённостей видов "ноль делить на ноль" и "бесконечность делить на бесконечность"

Пример 1. Вычислить

x =2 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому применим правило Лопиталя:

Пример 2. Вычислить

Решение. Подстановка в заданную функцию значения x

Пример 3. Вычислить

Решение. Подстановка в заданную функцию значения x =0 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому применим правило Лопиталя:

Пример 4. Вычислить

Решение. Подстановка в заданную функцию значения икса, равного плюс бесконечности, приводит к неопределённости вида ∞/∞. Поэтому применим правило Лопиталя:

Замечание. Если предел отношения производных представляет собой неопределённость вида 0/0 или ∞/∞, то можно снова применить правило Лопиталя, т.е. перейти к пределу отношения вторых производных, и т.д.

Пример 5. Вычислить

Решение. Находим

Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных дают неопределённость вида ∞/∞.

Пример 6. Вычислить

Представьте стаю воробьёв с выпученными глазами. Нет, это не гром, не ураган и даже не маленький мальчик с рогаткой в руках. Просто в самую гущу птенчиков летит огромное-огромное пушечное ядро. Именно так правила Лопиталя расправляются с пределами, в которых имеет место неопределённость или .

Правила Лопиталя – очень мощный метод, позволяющий быстро и эффективно устранить указанные неопределенности, не случайно в сборниках задач, на контрольных работах, зачётах часто встречается устойчивый штамп: «вычислить предел, не пользуясь правилом Лопиталя ». Выделенное жирным шрифтом требование можно с чистой совестью приписать и к любому пределу уроков Пределы. Примеры решений , Замечательные пределы . Методы решения пределов , Замечательные эквивалентности , где встречается неопределённость «ноль на ноль» либо «бесконечность на бесконечность». Даже если задание сформулировано коротко – «вычислить пределы», то негласно подразумевается, что вы будете пользоваться всем, чем угодно, но только не правилами Лопиталя.

Всего правил два, и они очень похожи друг на друга, как по сути, так и по способу применения. Кроме непосредственных примеров по теме, мы изучим и дополнительный материал, который будет полезен в ходе дальнейшего изучения математического анализа.

Сразу оговорюсь, что правила будут приведены в лаконичном «практическом» виде, и если вам предстоит сдавать теорию, рекомендую обратиться к учебнику за более строгими выкладками.

Первое правило Лопиталя

Рассмотрим функции , которые бесконечно малЫ в некоторой точке . Если существует предел их отношений , то в целях устранения неопределённости можно взять две производные – от числителя и от знаменателя. При этом: , то есть .

Примечание : предел тоже должен существовать, в противном случае правило не применимо.

Что следует из вышесказанного?

Во-первых, необходимо уметь находить производные функций , и чем лучше – тем лучше =)

Во-вторых, производные берутся ОТДЕЛЬНО от числителя и ОТДЕЛЬНО от знаменателя. Пожалуйста, не путайте с правилом дифференцирования частного !!!

И, в-третьих, «икс» может стремиться куда угодно, в том числе, к бесконечности – лишь бы была неопределённость .

Вернёмся к Примеру 5 первой статьи о пределах , в котором был получен следующий результат:

К неопределённости 0:0 применим первое правило Лопиталя:

Как видите, дифференцирование числителя и знаменателя привело нас к ответу с пол оборота: нашли две простые производные, подставили в них «двойку», и оказалось, что неопределённость бесследно исчезла!

Не редкость, когда правила Лопиталя приходится применять последовательно два или бОльшее количество раз (это относится и ко второму правилу). Вытащим на ретро-вечер Пример 2 урока о замечательных пределах :

На двухъярусной кровати снова прохлаждаются два бублика. Применим правило Лопиталя:

Обратите внимание, что на первом шаге в знаменателе берётся производная сложной функции . После этого проводим ряд промежуточных упрощений, в частности, избавляемся от косинуса, указывая, что он стремится к единице. Неопределённость не устранена, поэтому применяем правило Лопиталя ещё раз (вторая строчка).

Я специально подобрал не самый простой пример, чтобы вы провели небольшое самотестирование. Если не совсем понятно, как найдены производные , следует усилить свою технику дифференцирования, если не понятен фокус с косинусом, пожалуйста, вернитесь к замечательным пределам . Не вижу особого смысла в пошаговых комментариях, так как о производных и пределах я уже рассказал достаточно подробно. Новизна статьи состоит в самих правилах и некоторых технических приёмах решения.

Как уже отмечалось, в большинстве случаев правила Лопиталя использовать не нужно, но их зачастую целесообразно применять для черновой проверки решения. Зачастую, но далеко не всегда. Так, например, только что рассмотренный пример значительно выгоднее проверить через замечательные эквивалентности .

Второе правило Лопиталя

Брат-2 борется с двумя спящими восьмёрками . Аналогично:

Если существует предел отношения бесконечно больших в точке функций: , то в целях устранения неопределённости можно взять две производные – ОТДЕЛЬНО от числителя и ОТДЕЛЬНО от знаменателя. При этом: , то есть при дифференцировании числителя и знаменателя значение предела не меняется .

Примечание : предел должен существовать

Опять же, в различных практических примерах значение может быть разным , в том числе, бесконечным. Важно, чтобы была неопределённость .

Проверим Пример №3 первого урока: . Используем второе правило Лопиталя:

Коль скоро речь зашла о великанах, разберём два каноничных предела:

Пример 1

Вычислить предел

Получить ответ «обычными» методами непросто, поэтому для раскрытия неопределённости «бесконечность на бесконечность» используем правило Лопиталя:

Таким образом, линейная функция более высокого порядка роста , чем логарифм с основанием бОльшим единицы ( и т.д.). Разумеется, «иксы» в старших степенях тоже будут «перетягивать» такие логарифмы. Действительно, функция растёт достаточно медленно и её график является более пологим относительно того же «икса».

Пример 2

Вычислить предел

Ещё один примелькавшийся кадр. В целях устранения неопределённости , используем правило Лопиталя, причём, два раза подряд:

Показательная функция, с основанием, бОльшим единицы ( и т.д.) более высокого порядка роста , чем степенная функция с положительной степенью .

Похожие пределы встречаются в ходе полного исследования функции , а именно, при нахождении асимптот графиков . Также замечаются они и в некоторых задачах по теории вероятностей . Советую взять на заметку два рассмотренных примера, это один из немногих случаев, когда лучше дифференцирования числителя и знаменателя ничего нет.

Далее по тексту я не буду разграничивать первое и второе правило Лопиталя, это было сделано только в целях структурирования статьи. Вообще, с моей точки зрения, несколько вредно излишне нумеровать математические аксиомы, теоремы, правила, свойства, поскольку фразы вроде «согласно следствию 3 по теореме 19…» информативны только в рамках того или иного учебника. В другом источнике информации то же самое будет «следствием 2 и теоремой 3». Такие высказывания формальны и удобны разве что самим авторам. В идеале лучше ссылаться на суть математического факта. Исключение – исторически устоявшиеся термины, например, первый замечательный предел или второй замечательный предел .

Продолжаем разрабатывать тему, которую нам подкинул член Парижской академии наук маркиз Гийом Франсуа де Лопиталь. Статья приобретает ярко выраженную практическую окраску и в достаточно распространённом задании требуется:

Для разминки разберёмся с парой небольших воробушков:

Пример 3

Предел можно предварительно упростить, избавившись от косинуса, однако проявим уважение к условию и сразу продифференцируем числитель и знаменатель:

В самом процессе нахождения производных нет чего-то нестандартного, так, в знаменателе использовано обычное правило дифференцирования произведения .

Рассмотренный пример разруливается и через замечательные пределы , похожий случай разобран в конце статьи Сложные пределы .

Пример 4

Вычислить предел по правилу Лопиталя

Это пример для самостоятельного решения. Нормально пошутил =)

Типична ситуация, когда после дифференцирования получаются трех- или четырёхэтажные дроби:

Пример 5

Вычислить предел, используя правило Лопиталя

Напрашивается применение замечательной эквивалентности , но путь жёстко предопределён по условию:

После дифференцирования настоятельно рекомендую избавляться от многоэтажности дроби и проводить максимальные упрощения . Конечно, более подготовленные студенты могут пропустить последний шаг и сразу записать: , но в некоторых пределах запутаются даже отличники.

Пример 6

Вычислить предел, используя правило Лопиталя

Пример 7

Вычислить предел, используя правило Лопиталя

Это примеры для самостоятельного решения. В Примере 7 можно ничего не упрощать, слишком уж простой получается после дифференцирования дробь. А вот в Примере 8 после применения правила Лопиталя крайне желательно избавиться от трёхэтажности, поскольку вычисления будут не самыми удобными. Полное решение и ответ в конце урока. Если возникли затруднения – тригонометрическая таблица в помощь.

И, упрощения совершенно необходимы, когда после дифференцирования неопределённость не устранена .

Пример 8

Вычислить предел, используя правило Лопиталя

Поехали:

Интересно, что первоначальная неопределённость после первого дифференцирования превратилась в неопределённость , и правило Лопиталя невозмутимо применяется дальше. Также заметьте, как после каждого «подхода» устраняется четырёхэтажная дробь, а константы выносятся за знак предела. В более простых примерах константы удобнее не выносить, но когда предел сложный, упрощаем всё-всё-всё. Коварство решённого примера состоит ещё и в том, что при , а , поэтому в ходе ликвидации синусов немудрено запутаться в знаках. В предпоследней строчке синусы можно было и не убивать, но пример довольно тяжелый, простительно.

На днях мне попалось любопытное задание:

Пример 9

Если честно, немного засомневался, чему будет равен данный предел. Как демонстрировалось выше, «икс» более высокого порядка роста, чем логарифм, но «перетянет» ли он логарифм в кубе? Постарайтесь выяснить самостоятельно, за кем будет победа.

Да, правила Лопиталя – это не только пальба по воробьям из пушки, но ещё и кропотливая работа….

В целях применения правил Лопиталя к бубликам или уставшим восьмёркам сводятся неопределённости вида .

Расправа с неопределённостью подробно разобрана в Примерах №№9-13 урока Методы решения пределов . Давайте для проформы ещё один:

Пример 10

Вычислить предел функции, используя правило Лопиталя

На первом шаге приводим выражение к общему знаменателю, трансформируя тем самым неопределённость в неопределённость . А затем заряжаем правило Лопиталя:

Здесь, к слову, тот случай, когда четырёхэтажное выражение трогать бессмысленно.

Неопределённость тоже не сопротивляется превращению в или :

Пример 11

Вычислить предел функции с помощью правила Лопиталя

Предел здесь односторонний, и о таких пределах уже шла речь в методичке Графики и свойства функций . Как вы помните, графика «классического» логарифма не существует слева от оси , таким образом, мы можем приближаться к нулю только справа.

Правила Лопиталя для односторонних пределов работают, но сначала необходимо разобраться с неопределённостью . На первом шаге делаем дробь трёхэтажной, получая неопределённость , далее решение идёт по шаблонной схеме:

После дифференцирования числителя и знаменателя избавляемся от четырёхэтажной дроби, чтобы провести упрощения. В результате нарисовалась неопределённость . Повторяем трюк: снова делаем дробь трёхэтажной и к полученной неопределённости применяем правило Лопиталя ещё раз:

Готово.

Исходный предел можно было попытаться свести к двум бубликам:

Но, во-первых, производная в знаменателе труднее, а во-вторых, ничего хорошего из этого не выйдет.

Таким образом, перед решением похожих примеров нужно проанализировать (устно либо на черновике), К КАКОЙ неопределённости выгоднее свести – к «нулю на ноль» или к «бесконечности на бесконечность».

В свою очередь на огонёк подтягиваются собутыльники и более экзотические товарищи . Метод трансформации прост и стандартен.