Свойства показательной функции		y = , 0< a < 1
1. Область определения функции
2. Область значений функции
3. Промежутки сравнения с единицей	при x > 0, > 1	при x > 0, 0< < 1
при x < 0, 0< < 1	при x < 0, > 1
4. Чётность, нечётность.	Функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида).
5. Монотонность.	монотонно возрастает на R	монотонно убывает на R
6. Экстремумы.	Показательная функция экстремумов не имеет.
7. Асимптота	Ось Ox является горизонтальной асимптотой.
8. При любых действительных значениях x и y;

Примеры:

Пример № 1. (Для нахождения области определения функции). Какие значения аргумента являются допустимыми для функций:

Пример № 2. (Для нахождения области значений функции). На рисунке изображен график функции. Укажите область определения и область значений функции:

Пример № 3. (Для указания промежутков сравнения с единицей). Каждую из следующих степеней сравните с единицей:

Пример № 4. (Для исследования функции на монотонность). Сравнить по величине действительные числа m и n если:

Пример № 5. (Для исследования функции на монотонность). Сделайте заключение относительно основания a, если:

y(x) = 10x; f(x) = 6x; z(x) - 4x

Как располагаются графики показательных функций относительно друг друга при x > 0, x = 0, x < 0?

Таблица. Вывод:

Таблица. Вывод:

В одной координатной плоскости построены графики функций:

y(x) = (0,1)x; f(x) = (0,5)x; z(x) = (0,8)x.

Как располагаются графики показательных функций относительно друг друга при x > 0, x = 0, x < 0?

Заключение

В данной курсовой работе по теме «Показательная функция» мною были рассмотрены ее понятие, основные свойства и графики.

Тема показательной функции, в общем, является одной из часто используемых в вычислениях и решении различных задач.

В работе были приведены примеры и задания, разные по сложности и по содержанию.

Курсовая работа, по моему мнению, выполнена в рамках методики преподавания математики и может быть использована как наглядное пособие для студентов дневного и заочного отделений.

Урок № 2

Тема: Показательная функция, её свойства и график.

Цель: Проверить качество усвоения понятия «показательная функция»; сформировать умения и навыки по распознаванию показательной функции, по использованию её свойств и графиков, научить учащихся пользоваться аналитической и графической формами записи показательной функции; обеспечить рабочую обстановку на уроке.

Оборудование: доска, плакаты

Форма урока : классно-урочная

Вид урока : практическое занятие

Тип урока : урок обучения умениям и навыкам

План урока

1. Организационный момент

2. Самостоятельная работа и проверка домашнего задания

3. Решение задач

4. Подведение итогов

5. Задание на дом

Ход урока .

1. Организационный момент :

Здравствуйте. Откройте тетради, запишите сегодняшнее число и тему урока «Показательная функция». Сегодня будем продолжать изучать показательную функцию, её свойства и график.

2. Самостоятельная работа и проверка домашнего задания .

Цель: проверить качество усвоения понятия «показательная функция» и проверить выполнение теоретической части домашнего задания

Метод: тестовое задание, фронтальный опрос

В качестве домашнего задания вам были заданы номера из задачника и параграф из учебника. Выполнение номеров из учебника проверять сейчас не будем, но вы сдадите тетради в конце урока. Сейчас же будет проведена проверка теории в виде маленького теста. Задание у всех одинаковое: вам дан перечень функций, вы должны узнать какие из них являются показательными (подчеркнуть их). И рядом с показательной функцией необходимо написать является она возрастающей, либо убывающей.

Вариант 1 Ответ Б) Д) - показательная, убывающая	Вариант 2 Ответ Г) - показательная, убывающая Д) - показательная, возрастающая
Вариант 3 Ответ А) - показательная, возрастающая Б) - показательная, убывающая	Вариант 4 Ответ А) - показательная, убывающая В) - показательная, возрастающая

Теперь вместе вспомним, какая функция называется показательной?

Функция вида , где и , называется показательной функцией.

Какая область определения у этой функции?

Все действительные числа.

Какая область значений показательной функции?

Все положительные действительные числа.

Убывает если основание степени больше нуля, но меньше единицы.

В каком случае показательная функция убывает на своей области определения?

Возрастает, если основание степени больше единицы.

3. Решение задач

Цель : сформировать умения и навыки по распознаванию показательной функции, по использованию её свойств и графиков, научить учащихся пользоваться аналитической и графической формами записи показательной функции

Метод : демонстрация учителем решения типичных задач, устная работа, работа у доски, работа в тетради, беседа учителя с учащимися.

Свойства показательной функции можно использовать при сравнении 2-х и более чисел. Например: № 000. Сравните значения и , если а) ..gif" width="37" height="20 src=">, то это довольно сложная работа: нам бы пришлось извлекать кубический корень из 3 и из 9, и сравнивать их. Но мы знаем, что возрастает, это в свою очередь значит, что при увеличении аргумента, увеличивается значение функции, то есть нам достаточно сравнить между собой значения аргумента и , очевидно, что (можно продемонстрировать на плакате с изображенной возрастающей показательной функцией). И всегда при решении таких примеров вначале определяете основание показательной функции, сравниваете с 1, определяете монотонность и переходите к сравнению аргументов. В случает убывания функции: при возрастания аргумента уменьшается значение функции, следовательно, знак неравенства меняем при переходе от неравенства аргументов к неравенству функций. Далее решаем устно: б)

-

В)

-

Г)

-

- № 000. Сравните числа: а) и

Следовательно, функция возрастает, тогда

Почему ?

Возрастающая функция и

Следовательно, функция убывает, тогда

Обе функции возрастают на всей своей области определения, т. к. они являются показательными с основанием степени большим единицы.

Какой смысл в ней заложен?

Строим графики:

Какая функция быстрее возрастает, при стремлении https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

Какая функция быстрее убывает, при стремлении https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

На промежутке какая из функций имеет большее значение в конкретно заданной точке?

Г) , https://pandia.ru/text/80/379/images/image068_0.gif" width="69" height="57 src=">. Вначале выясним область определения этих функций. Совпадают ли они?

Да, область определения этих функций все действительные числа.

Назовите область значения каждой из этих функций.

Области значений этих функций совпадают: все положительные действительные числа.

Определите тип монотонности каждой из функций.

Все три функции убывают на всей своей области определения, т. к. они являются показательными с основанием степени меньшими единицы и большими нуля.

Какая особая точка существует у графика показательной функции?

Какой смысл в ней заложен?

Какое бы не было основание степени показательной функции, если в показателе стоит 0,то значение этой функции 1.

Строим графики:

Давайте проанализируем графики. Сколько точек пересечения у графиков функций?

Какая функция быстрее убывает, при стремлении https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width="41 height=57" height="57">

Какая функция быстрее возрастает, при стремлении https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width="41 height=57" height="57">

На промежутке какая из функций имеет большее значение в конкретно заданной точке?

На промежутке какая из функций имеет большее значение в конкретно заданной точке?

Почему показательные функции с разными основаниями имеют только одну точку пересечения?

Показательные функции являются строго монотонными на всей своей области определения, поэтому они могут пересекаться только в одной точке.

Следующее задание будет направлено на использование этого свойства. № 000. Найдите наибольшее и наименьшее значение заданной функции на заданном промежутке а) . Вспомним, что строго монотонная функция принимает свои наименьшее и наибольшее значения на концах заданного отрезка. И если функция возрастающая, то её наибольшее значение будет на правом конце отрезка, а наименьшее на левом конце отрезка (демонстрация на плакате, на примере показательной функции). Если функция убывающая, то её наибольшее значение будет на левом конце отрезка, а наименьшее на правом конце отрезка (демонстрация на плакате, на примере показательной функции). Функция возрастающая, т. к. , следовательно, наименьшее значение функции будет в точке https://pandia.ru/text/80/379/images/image075_0.gif" width="145" height="29">. Пункты б) , в) г) решите самостоятельно тетради, проверку проведем устно.

Учащиеся решают задание в тетради

Убывающая функция

Убывающая функция наибольшее значение функции на отрезке наименьшее значение функции на отрезке

Возрастающая функция наименьшее значение функции на отрезке наибольшее значение функции на отрезке

- № 000. Найдите наибольшее и наименьшее значение заданной функции на заданном промежутке а) . Это задание практически такое же, как и предыдущее. Но здесь дан не отрезок, а луч. Мы знаем, что функция - возрастающая, при чем она не имеет ни наибольшего, ни наименьшего своего значения на всей числовой прямой https://pandia.ru/text/80/379/images/image063_0.gif" width="68" height="20">, и стремится к при , т. е. на луче функция при стремится к 0, но не имеет своего наименьшего значения, но у неё существует наибольшее значение в точке . Пункты б) , в) , г) решите самостоятельно тетради, проверку проведем устно.

y=3 x

Степенная функция

y

x

y=x 2

y=x 4

y

x

y=x 3

y=x 5

Решить самостоятельно.

Задание. Построить графики функций: y = ; y = ; y = -1

Форма контроля : проверка конспекта и устный опрос.

Самостоятельная работа № 13

Тема 4.3. Логарифмическая функция. Свойства и график.

Самостоятельная работа (2 часа)

· изучить свойства логарифмической функции.

· построение графиков логарифмической функций.

Логарифмическая функция

Функция y= , (х ) называется логарифмической функцией.

Логарифмическая функция y= является обратной по отношению к показательной функции у = (х ) . Поэтому их графики симметричны относительно биссектрисы I и III координатных углов (рис. 8).

y

x

y=log 2 x

y=log 0,4 x

y=log 4 x

y

x

a>1

a<1

Приведем основные свойства логарифмической функции:

1) Область определения: D(y) =R + .

2) Область значений функции: E(y) =R.

3) Логарифм единицы равен нулю, логарифм основания равен единице: =0, =0, .

4) Функция y= , возрастает в промежутке (рис. 8 а). При этом, логарифмы чисел, больших единицы, положительны, а - меньших единицы, отрицательны.

5) Функцияy= , (х , убывают в промежутке . При этом, логарифмы чисел, меньших единицы, положительны, а - больших единицы, отрицательны.

4. Найти область определения функции: y=

Решение. Поскольку логарифмическая функция определена только для положительных чисел, а квадратный корень – для неотрицательных чисел, задача сводится к решению системы неравенств:

Левую часть первого неравенства разложим на множители, а во втором заменим 1 на :

Так как основание логарифма8 >1 , то, согласно свойствам логарифма, переходим к системе: т.е.

Последняя система равносильна неравенству: ,

которое решается методом интервалов (причем x≠3, и x ≠ 1). С помощью рис. 9 получаем ответ:[-1;1) (3;5].

Контрольные вопросы.

1. Дайте определение логарифмической функции.

2. Какие область определения и область значения функции у = log a x?

3. В каком случае функция у = log a x является возрастающей, в каком убывающей?

4. При каких значениях x функции у = log a x принимает положительные значения, при каких отрицательные?

Тест для самопроверки. (Варианты ответов: да нет)

1. Логарифмическая функция у = log a x определена при любом х

2. Функция у = log a x определена при а > 0, а =/= 1, х > 0.

3. Областью определения логарифмической функции является множество действительных чисел.

4. Областью значений логарифмической функции является множество действительных чисел.

5. Логарифмическая функция – четная.

6. Логарифмическая функция – нечетная.

7. Функция у = log a x – возрастающая при а >1.

8. Функция у = log a x при положительном, но меньшем единицы основании, – возрастающая.

9. Логарифмическая функция имеет экстремум в точке (1; 0).

10. График функции у = log a x пересекается с осью ОХ.

11. График логарифмической функции находится в верхней полуплоскости.

12. График логарифмической функции симметричен относительно ОХ.

13. График логарифмической функции пересекает ОХ в точке (1; 0).

14. График логарифмической функции находится в 1 и 4 четвертях.

15. Существует логарифм отрицательного числа.

16. Существует логарифм дробного положительного числа.

17. График логарифмической функции проходит через точку (0; 0).

Самостоятельная работа №14

10 класс" width="271" height="129 src="/>

Самостоятельная работа по теме «Решение уравнений и систем уравнений (повторение).»

Вариант 1.

1)https://pandia.ru/text/78/476/images/image006_16.gif" width="99" height="24 src=">.gif" width="179" height="44 src=">.gif" width="99" height="51 src=">

Самостоятельная работа по теме «Решение неравенств». Повторение.

Вариант 1.

1)https://pandia.ru/text/78/476/images/image012_10.gif" width="64" height="27 src=">.gif" width="100" height="41 src=">.gif" width="72" height="27 src=">.gif" width="52" height="41 src=">.gif" width="189" height="24 src=">.

Вариант 1.

Дана функция https://pandia.ru/text/78/476/images/image022_7.gif" width="33" height="20 src=">.gif" width="33" height="20 src=">.gif" width="171" height="51 src=">

а) Найдите https://pandia.ru/text/78/476/images/image023_5.gif" width="43" height="20 src=">.gif" width="68" height="32 src=">.

Самостоятельная работа по теме «Функция». Повторение.

Вариант 3.

Дана функция https://pandia.ru/text/78/476/images/image022_7.gif" width="33" height="20 src=">.gif" width="43" height="20 src=">.gif" width="156" height="51 src=">

а) Найдите https://pandia.ru/text/78/476/images/image023_5.gif" width="43" height="20 src=">.gif" width="68" height="32 src=">.

б) Постройте график данной функции.

в) Укажите для данной функции D(y), E(y), промежутки возрастания и убывания.

Самостоятельная работа по теме «Функция». Повторение.

Вариант 5.

Дана функция https://pandia.ru/text/78/476/images/image022_7.gif" width="33" height="20 src=">.gif" width="43" height="20 src=">, DIV_ADBLOCK535">

Самостоятельная работа по теме «Функция». Повторение.

Вариант 6.

Дана функция https://pandia.ru/text/78/476/images/image022_7.gif" width="33" height="20 src=">.gif" width="33" height="20 src=">.gif" width="131" height="24">.

2. Найдите область определения функции https://pandia.ru/text/78/476/images/image035_4.gif" width="89 height=53" height="53">

4. Решить совокупность неравенств:

Дополнительное задание. Решить систему уравнений:

VII - IX классов»

Вариант 2.

1. Решите уравнение .

2. Найдите область определения функции https://pandia.ru/text/78/476/images/image040_3.gif" width="91 height=53" height="53">

4. Решить систему неравенств:

Дополнительное задание. Решить систему уравнений:

Контрольная работа по теме «Повторение материала курса алгебры VII - IX классов»

Вариант 3.

1. Решите уравнение .

2. Найдите область определения функции https://pandia.ru/text/78/476/images/image044_3.gif" width="89" height="75">

4. Решить совокупность неравенств: https://pandia.ru/text/78/476/images/image037_4.gif" width="137 height=48" height="48">

Контрольная работа по теме «Повторение материала курса алгебры VII - IX классов»

Вариант 4.

1. Решите уравнение .

2. Найдите область определения функции https://pandia.ru/text/78/476/images/image048_3.gif" width="108" height="56">

4. Решить систему неравенств:

Дополнительное задание. Решить систему уравнений:

Вариант 1.

1. Сравнить числа: а) и ; б) и ; в) и https://pandia.ru/text/78/476/images/image056_2.gif" width="48" height="24 src=">.gif" width="107" height="43 src=">.

Самостоятельная работа по теме «Показательная функция»

Вариант 2.

1. Сравнить числа: а) и ; б) и ; в) и https://pandia.ru/text/78/476/images/image068_2.gif" width="65" height="49 src=">.gif" width="107" height="43 src=">.

3. Построить графики функций: а); б); в).

Самостоятельная работа по теме «Показательные уравнения»

Вариант 1.

Решить уравнения:

1)https://pandia.ru/text/78/476/images/image075_2.gif" width="136" height="24 src=">.gif" width="147" height="33 src=">.gif" width="161" height="24 src="> .

Самостоятельная работа по теме «Показательные неравенства»

Вариант 1.

Решить неравенства:

1) https://pandia.ru/text/78/476/images/image081_2.gif" width="144" height="21 src=">.gif" width="61" height="48 src=">.gif" width="88" height="28 src=">.

Вариант 1.

1. Построить график функции .

2. Решить уравнения: а), б).

3. Решить неравенства: а); б) .

4. Решить систему уравнений:

Контрольная работа по теме «Показательная функция»

Вариант 2.

1. Построить график функции .

2. Решить уравнения: а), б).

3. Решить неравенства: а); б) .

4. Решить систему уравнений:

Вариант 1.

1. Вычислите: а); б); в); г).

2..gif" width="147" height="24 src=">.

Самостоятельная работа по теме «Понятие логарифма»

Вариант 2.

1. Вычислите: а); б); в); г).

2..gif" width="161" height="27 src=">.

Вариант 1.

2..gif" width="87" height="44 src=">.

Самостоятельная работа по теме «Основные свойства логарифма»

Вариант 2.

1. Найти , если известно, что .

2..gif" width="113" height="45 src=">.

Самостоятельная работа по теме «Логарифмическая функция»

Вариант 1.

Найдите область определения каждой из функций:

1)https://pandia.ru/text/78/476/images/image118_0.gif" width="97" height="27 src=">.gif" width="147" height="28 src=">.gif" width="192" height="31 src=">.

Вариант 1.

Построить график функции:

1)https://pandia.ru/text/78/476/images/image124_0.gif" width="81" height="27 src=">.gif" width="75" height="27 src=">.

Самостоятельная работа по теме «График логарифмической функции»

Вариант 2.

Построить график функции:

1)https://pandia.ru/text/78/476/images/image128_0.gif" width="99" height="28 src=">.gif" width="81" height="29 src=">.

Вариант 1.

Самостоятельная работа по теме «Обратная функция»

Вариант 2.

а) Найдите функцию, обратную данной,

б) Укажите область определения и область значений обратной функции,

в) Постройте графики данной функции и обратной в одной системе координат.

Самостоятельная работа по теме «Обратная функция»

Вариант 3.

а) Найдите функцию, обратную данной,

б) Укажите область определения и область значений обратной функции,

в) Постройте графики данной функции и обратной в одной системе координат.

Самостоятельная работа по теме «Обратная функция»

Вариант 4.

а) Найдите функцию, обратную данной,

б) Укажите область определения и область значений обратной функции,

в) Постройте графики данной функции и обратной в одной системе координат.

Вариант 1.

1. Вычислить: а); б) ; в); г); д); е).

2. Найти х , если .

3..gif" width="93" height="27">.

Контрольная работа по теме: «Логарифм».

Вариант 2.

1. Вычислить: а); б) ; в); г); д); е).

2. Найти х , если .

3..gif" width="91" height="27">.

5. Найти функцию, обратную к функции , . Указать область определения и область значений обратной функции.

Вариант 1.

1)https://pandia.ru/text/78/476/images/image168_0.gif" width="117" height="24 src=">.gif" width="131" height="48 src=">.

Самостоятельная работа по теме «Логарифмические уравнения»

Вариант 2.

1)https://pandia.ru/text/78/476/images/image172_0.gif" width="125" height="41 src=">.gif" width="133" height="40 src=">.

Вариант 1.

1), 2), 3),

4)https://pandia.ru/text/78/476/images/image179_0.gif" width="93 height=20" height="20">.

Самостоятельная работа по теме «Логарифмические неравенства»

Вариант 2.

4)https://pandia.ru/text/78/476/images/image184.gif" width="92 height=20" height="20">.

Контрольная работа по теме «логарифмические уравнения и неравенства»

Вариант 1.

1. Решите уравнения: а); б); в).

2. Решить систему уравнений:

3. Решить неравенства: а); б).

4..gif" width="159" height="29">; б); в).

2. Решить систему уравнений:

3. Решить неравенства: а); б).

4..gif" width="25" height="41 src=">.gif" width="77" height="41">; б).

4..gif" width="109" height="21 src=">..gif" width="36" height="19 src=">.

Вариант 2.

1. Выразите в радианной мере величины углов 560; 1700.

2..gif" width="37" height="41 src=">.

3. Укажите знак числа: а); б).

4..gif" width="100" height="21 src=">..gif" width="29" height="19 src=">.

Самостоятельная работа по теме «Основы тригонометрии»

Вариант 3.

1. Выразите в радианной мере величины углов 720; 1400.

2..gif" width="36" height="41 src=">.

3. Укажите знак числа: а); б).

4..gif" width="29" height="19 src=">, если известно, что и https://pandia.ru/text/78/476/images/image221.gif" width="27" height="41 src=">.gif" width="123" height="48">; б).

4..gif" width="36" height="19 src=">, если известно, что и https://pandia.ru/text/78/476/images/image226.gif" width="497" height="24">.

2. Упростите выражение: .

3..gif" width="527" height="24">.

2. Упростите выражение: .

3..gif" width="497" height="24">.

2. Упростите выражение: .

3..gif" width="527" height="24">.

2. Упростите выражение: .

3..gif" width="192" height="24">.

2. Докажите тождество: .

Вариант 2.

1. Вычислите: .

2. Докажите тождество:.

3. Преобразуйте в произведение:.

Самостоятельная работа по теме «Сумма и разность тригонометрических функций»

Вариант 3.

1. Вычислите: .

2. Докажите тождество: .

3. Преобразуйте в произведение: .

Самостоятельная работа по теме «Сумма и разность тригонометрических функций»

Вариант 4.

1. Вычислите:.

2. Докажите тождество:.

3. Преобразуйте в произведение: .

Вариант 1.

1. Упростите выражение: .

2. Вычислите .

3. Вычислите .

4. Вычислите .

5. Преобразуйте в произведение https://pandia.ru/text/78/476/images/image255.gif" width="109" height="17 src=">..gif" width="16 height=13" height="13">.

2. Начертите график функции .

Контрольная работа по теме «Тригонометрические преобразования»

Вариант 2.

1. Упростите выражение: .

2. Упростите выражение: .

3. Вычислить .

4. Вычислите .

5. Преобразовать в произведение .

Необязательное задание.

1..gif" width="43" height="17 src=">и наименьшее значение .

2. Начертите график функции .

Контрольная работа по теме «Тригонометрические преобразования»

Вариант 3.

1. Вычислите .

2. Вычислите .

3. Вычислите .

4. Вычислите .

5. Преобразовать в произведение .

Необязательное задание .

1..gif" width="43" height="17 src=">и наибольшее значение .

2. Начертите график функции .

Контрольная работа по теме «Тригонометрические преобразования»

Вариант 4.

1. Вычислите .

2. Упростите выражение: https://pandia.ru/text/78/476/images/image274.gif" width="280" height="47">.

4. Вычислите .

5. Преобразовать в произведение: .

Необязательное задание.

1..gif" width="43" height="17 src=">и наименьшее значение .

2. Начертите график функции .

Вариант 1.

Решить уравнения:

1)https://pandia.ru/text/78/476/images/image278.gif" width="153" height="21 src=">.gif" width="109" height="45 src=">.gif" width="284" height="48 src=">

Самостоятельная работа по теме «Уравнение cosx=a»

Вариант 3.

Решить уравнения: , периодическая с главным периодом 6. При этом, принадлежащие промежутку

5. Запишите все решения уравнения , принадлежащие промежутку .

6. Запишите все решения неравенства , принадлежащие промежутку .

Приведены справочные данные по показательной функции - основные свойства, графики и формулы. Рассмотрены следующие вопросы: область определения, множество значений, монотонность, обратная функция, производная, интеграл, разложение в степенной ряд и представление посредством комплексных чисел.

Содержание

Свойства показательной функции

Показательная функция y = a x , имеет следующие свойства на множестве действительных чисел () :
(1.1) определена и непрерывна, при , для всех ;
(1.2) при a ≠ 1 имеет множество значений ;
(1.3) строго возрастает при , строго убывает при ,
является постоянной при ;
(1.4) при ;
при ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Другие полезные формулы.
.
Формула преобразования к показательной функции с другим основанием степени:

При b = e , получаем выражение показательной функции через экспоненту:

Частные значения

, , , , .

y = a x при различных значениях основания a .

На рисунке представлены графики показательной функции
y(x) = a x
для четырех значений основания степени : a = 2 , a = 8 , a = 1/2 и a = 1/8 . Видно, что при a > 1 показательная функция монотонно возрастает. Чем больше основание степени a , тем более сильный рост. При 0 < a < 1 показательная функция монотонно убывает. Чем меньше показатель степени a , тем сильнее убывание.

Возрастание, убывание

Показательная функция, при является строго монотонной, поэтому экстремумов не имеет. Основные ее свойства представлены в таблице.

	y = a x , a > 1	y = a x , 0 < a < 1
Область определения	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Область значений	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Монотонность	монотонно возрастает	монотонно убывает
Нули, y = 0	нет	нет
Точки пересечения с осью ординат, x = 0	y = 1	y = 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Обратная функция

Обратной для показательной функции с основанием степени a является логарифм по основанию a .

Если , то
.
Если , то
.

Дифференцирование показательной функции

Для дифференцирования показательной функции, ее основание нужно привести к числу e , применить таблицу производных и правило дифференцирования сложной функции.

Для этого нужно использовать свойство логарифмов
и формулу из таблицы производных :
.

Пусть задана показательная функция:
.
Приводим ее к основанию e :

Применим правило дифференцирования сложной функции . Для этого вводим переменную

Тогда

Из таблице производных имеем (заменим переменную x на z ):
.
Поскольку - это постоянная, то производная z по x равна
.
По правилу дифференцирования сложной функции:
.

Производная показательной функции

.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >

Пример дифференцирования показательной функции

Найти производную функции
y = 3 5 x

Решение

Выразим основание показательной функции через число e .
3 = e ln 3
Тогда
.
Вводим переменную
.
Тогда

Из таблицы производных находим:
.
Поскольку 5ln 3 - это постоянная, то производная z по x равна:
.
По правилу дифференцирования сложной функции имеем:
.

Ответ

Интеграл

Выражения через комплексные числа

Рассмотрим функцию комплексного числа z :
f(z) = a z
где z = x + iy ; i 2 = - 1 .
Выразим комплексную постоянную a через модуль r и аргумент φ :
a = r e i φ
Тогда


.
Аргумент φ определен не однозначно. В общем виде
φ = φ 0 + 2 πn ,
где n - целое. Поэтому функция f(z) также не однозначна. Часто рассматривают ее главное значение
.