Уравнения майера. Вывод формулы. Примеры решения задач
Воспользовавшись записью первого начала термодинамики в дифференциальной форме (9.2), получим выражение для теплоёмкости произвольного процесса:
Представим полный дифференциал внутренней энергии через частные производные по параметрам и :
После чего формулу (9.6) перепишем в виде
Соотношение (9.7) имеет самостоятельное значение, поскольку определяет теплоёмкость в любом термодинамическом процессе и для любой макроскопической системы, если известны калорическое и термическое уравнения состояния.
Рассмотрим процесс при постоянном давлении и получим общее соотношение между и .
Исходя из полученной формулы, можно легко найти связь между теплоемкостями и в идеальном газе. Этим мы и займемся. Впрочем, ответ уже известен, мы его активно использовали в 7.5.
Уравнение Роберта Майера
Выразим частные производные в правой части уравнения (9.8), с помощью термического и калорического уравнений, записанных для одного моля идеального газа. Внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры и не зависит от объёма газа, следовательно
Из термического уравнения легко получить
Подставим (9.9) и (9.10) в (9.8), тогда
Окончательно запишем
Вы, надеюсь, узнали (9.11). Да, конечно, это уравнение Майера. Еще раз напомним, что уравнение Майера справедливо только для идеального газа.
9.3. Политропические процессы в идеальном газе
Как отмечалось выше первое начало термодинамики можно использовать для вывода уравнений процессов, происходящих в газе. Большое практическое применение находит класс процессов, называемых политропическими. Политропическим называется процесс, проходящий при постоянной теплоемкости .
Уравнение процесса задается функциональной связью двух макроскопических параметров, описывающих систему. На соответствующей координатной плоскости уравнение процесса наглядно представляется в виде графика - кривой процесса. Кривая, изображающая политропический процесс, называется политропой. Уравнение политропического процесса для любого вещества может быть получено на основе первого начала термодинамики с использованием его термического и калорического уравнений состояния. Продемонстрируем, как это делается на примере вывода уравнения процесса для идеального газа.
Вывод уравнения политропического процесса в идеальном газе
Требование постоянства теплоёмкости в процессе позволяет записать первое начало термодинамики в виде
Используя уравнение Майера (9.11) и уравнение состояния идеального газа, получаем следующее выражение для
Разделив уравнение (9.12) на T и подставив в него (9.13) придем к выражению
Разделив () на , находим
Интегрированием (9.15), получаем
Это уравнение политропы в переменных
Исключая из уравнения () , с помощью равенства получаем уравнение политропы в переменных
Параметр называется показателем политропы, который может принимать согласно () самые разные значения, положительные и отрицательные, целые и дробные. За формулой () скрывается множество процессов. Известные вам изобарный, изохорный и изотермический процессы являются частными случаями политропического.
К этому классу процессов относится также адиабатный или адиабатический процесс . Адиабатным называется процесс, проходящий без теплообмена (). Реализовать такой процесс можно двумя способами. Первый способ предполагает наличие у системы теплоизолирующей оболочки, способной изменять свой объем. Второй – заключается в осуществлении столь быстрого процесса, при котором система не успевает обмениваться количеством теплоты с окружающей средой. Процесс распространения звука в газе можно считать адиабатным благодаря его большой скорости.
Из определения теплоемкости следует, что в адиабатическом процессе . Согласно
где – показатель адиабаты.
В этом случае уравнение политропы принимает вид
Уравнение адиабатного процесса (9.20) называют также уравнением Пуассона, поэтому параметр часто именуют постоянной Пуассона. Постоянная является важной характеристикой газов. Из опыта следует, что ее значения для разных газов лежат в интервале 1,30 ÷ 1,67, поэтому на диаграмме процессов адиабата «падает» более круто, чем изотерма.
Графики политропических процессов для различных значений представлены на рис. 9.1.
На рис. 9.1 графики процессов пронумерованы в соответствии с табл. 9.1.
Таблица. 9.1.
| Номер политропы на рис. 9.1 | Значение показателя политропы | Уравнение политропы () | Название процесса |
| st | изобарический | ||
| изохорический | |||
| изотермический | |||
| адиабатический | |||
| - | |||
| - | |||
| - |
Знание показателя политропы позволяет без особого труда рассчитать теплоёмкость системы. Знание теплоёмкости в свою очередь даёт возможность рассчитать количество теплоты, сообщённое макросистеме в данном политропическом процессе. Действительно, из следует
Тогда, бесконечно малое количество теплоты, сообщённое макросистеме в политропическом процессе равно
Соответственно полное количество теплоты, полученное системой при изменении её температуры от до , определяется простой формулой
Зная , можно определить макроскопическую работу , совершенную системой в политропическом процессе, с помощью уравнения первого начала в интегральной форме и формулы
Таким образом, мы можем получить исчерпывающую информацию об энергообмене системы с окружающей средой.
Теперь уместно поставить следующие вопросы. Что делать, если процесс не политропический? Можно ли глядя на график процесса, догадаться, что это не политропа?
Иногда можно. Взгляните на рис. 9.2. Это уж точно не политропы.
Для подобных процессов количество теплоты рассчитать не так просто как в случае политропных процессов так как теплоёмкость системы будет зависеть от температуры . Соответственно
Полное количество теплоты, полученное системой в произвольном процессе, можно рассчитать только интегрированием
Вычисление теплоемкости и количества теплоты в различных процессах является внутренней подзадачей многих учебных задач, с которыми вы встретитесь при изучении термодинамики.
9.4. Тепловые машины и их эффективность.
Циклические процессы являются основой действия тепловых машин. В используемых на практике разнообразных тепловых машинах реализованы различные виды термодинамических циклов. Тепловыми машинами являются двигатели внутреннего сгорания, реактивные двигатели, холодильники, кондиционеры, тепловые насосы, паровые турбины и т. д.
На диаграмме процессов цикл изображается замкнутой кривой (рис. 9.3) с указанием направления перехода (по часовой стрелке или против часовой стрелки). Работа, совершаемая машиной за цикл равна площади, ограниченной этой кривой.
| Рис. 9.3. |
Действительно, проинтегрировав по циклу равенство, выражающее первое начало термодинамики, получим важный результат:
из которого следует, что работа равна количеству теплоты, полученной системой за цикл
Теплота в каких-то частях цикла поступает в систему ( (+)), а в каких-то частях уходит из системы . Обобщённо можно записать так
Определить поступает в систему количество теплоты или оно теряется иногда можно только расчётом, но зачастую это видно на графике процесса:
Если температура растёт или (и) объём увеличивается, то в систему поступает количество теплоты .
Если температура падает или (и) объём уменьшается, то система отдаёт количество теплоты окружающей среде.
Принципиальная схема работы тепловой машины
Схематически работа машин по прямому и обращенному циклу представлена на рис. 9.4 и 9.5. Любая машина должна включать в себя нагреватель с температурой (горячий термостат), холодильник с температурой (холодный термостат), а также рабочее вещество, или рабочее тело, заключённое в некотором техническом устройстве (цилиндр с поршнем, турбина и т. п.), имеющем силовой привод. Если циклический процесс, описывающий состояние рабочего вещества в машине, идет по часовой стрелке, то машина работает в режиме двигателя (рис. 9.4), если против часовой стрелки, то в режиме холодильника, кондиционера или теплового насоса (рис. 9.5). Последние три названия часто объединяют одним термином – холодильная машина.
Рис. 9.4. Рис. 9.5.
Принцип работы двигателя: в процессе работы машина получает количество теплоты от нагревателя, часть которого идёт на совершение полезной работы (приводится в действие какой-либо силовой агрегат), а часть отдаётся холодному резервуару.
Принцип работы холодильной машины: для того, чтобы отобрать количество теплоты от холодильника и передать его нагревателю, необходимо затратить некоторое количество энергии на совершение механической работы над рабочим веществом машины.
Показатели эффективности тепловых машин
Эффективность двигателя характеризуется коэффициентом полезного действия η (КПД). Эффективность холодильной машины – коэффициентом использования энергии ξ (КИЭ). На схеме 9.4.1 приведены формулы для вычисления КПД и КИЭ.
Схема 9.4.1.
Чтобы воспользоваться формулами – необходимо точно установить на каких участках цикла, совершаемого рабочим телом, количество теплоты, поступает в машину, а на каких участках цикла количество теплоты передается низкотемпературному резервуару.
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте первое начало термодинамики. Запишите его уравнение в дифференциальной форме, поясните обозначения бесконечно малых величин. К каким процессам применим этот постулат?
2. Что называется вечным двигателем первого рода?
3. Как определяются теплоемкости при постоянном объеме и при постоянном давлении? Почему их называют функциями состояния?
4. Получите уравнение, связывающее теплоемкости и в общем случае.
5. Сделайте вывод уравнения Майера. Для каких систем это уравнение применимо?
6. Что называется политропическим процессом? Запишите уравнение политропы для параметров
7. Как связан показатель политропы с теплоемкостью процесса?
8. Является ли адиабатный процесс политропическим процессом? Обоснуйте ответ.
9. Как выглядят графики политропических процессов? Приведите примеры.
10. Как можно определить работу, совершенную системой, через количество теплоты, полученное ею извне в политропическом процессе?
11. Нарисуйте принципиальные схемы тепловых машин, работающих как двигатель и как холодильная машина.
12. Дайте определения КПД и КИЭ. По каким формулам они вычисляются и как связаны между собой?
ТЕОРЕМЫ КАРНО И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
10.1. Цикл Карно
В 1824 году французский физик и военный инженер Никола Леонар Сади Карно опубликовал свою работу «Размышления о движущей силе огня и о машинах, способных развивать эту силу», в которой им были сформулированы основные положения теории тепловых машин, содержащие по своей сути идею второго начала термодинамики.
В этом сочинении Карно ввёл в научный обиход множество понятий, использующихся в термодинамике и сейчас. Однако главной заслугой учёного стало выдвижение идей о необходимости перепада температур для создания циклически действующей тепловой машины и о том, что величина работы определяется только разностью температур нагревателя и холодильника и не зависит от природы рабочего вещества.
| Рис. 10.1. |
В идеальной машине Карно рабочее вещество (идеальный газ) совершает цикл, представленный на рис. 10.1, состоящий из двух изотерм и двух адиабат. Адиабата и изотерма слабо отличаются друг от друга, поэтому площадь внутри замкнутой кривой на диаграмме очень мала. Таким образом, характеристика цикла Карно по величине абсолютной работы не является хорошей, но с учётом затрат это самый эффективный цикл среди всех возможных циклов для получения работы.
Расчёт КПД машины Карно
Описание системы
Идеальный газ совершает цикл, состоящий из двух изотерм и двух адиабат – цикл Карно, представленный на рис. 10.2.
Актуальная информация о системе и процессах
Так как газ идеальный, то справедливо уравнение Клапейрона-Менделеева
Изменение внутренней энергии идеального газа на изотерме равно нулю
Уравнение адиабаты для идеального газа в параметрах , имеет вид
Решение задачи
По определению КПД двигателя равен
Количество теплоты, поступающее к рабочему телу от нагревателя на
участке 1-2 равно
При записи (10.3) учтено, что изменение внутренней энергии идеального газа на изотерме не происходит.
На участке 3-4 рабочее тело отдаёт количество теплоты холодильнику с температурой , равное
На участках 2-3 и 4-1 рабочее тело изолируется от нагревателя и холодильника. Соответствующие квазистатические процессы идут без теплообмена
Подставим в формулу (10.2) полученные значения и , тогда имеем
Уравнение адиабатического процесса (10.1) позволяет существенно упростить это выражение. Действительно, для адиабаты 2 - 3 (рис. 10.2)
а для адиабаты 4 - 1 запишем
Если разделить уравнение (10.6) на уравнение (10.7), то получим
Воспользовавшись этим результатом, из формулы (10.5) получим окончательный ответ
Из (10.9) видно, что чем ниже температура холодильника при фиксированной температуре нагревателя , тем выше КПД цикла Карно. В ряде учебников утверждается, что всегда меньше 1, потому, что не может быть равной 0 , поскольку абсолютный нуль температур не достижим согласно третьему началу термодинамики. Такой аргумент следует признать неверным. Дело в том, что даже если бы , осуществить цикл Карно при этом условии было бы невозможно. Анализ показывает, что такой цикл или нельзя замкнуть, или он вырождается в совокупность двух совпадающих адиабат и изотерм . Машина с КПД равным единице запрещена вторым началом термодинамики.
10.2. Теоремы Карно
Основные положения теории тепловых машин Сади Карно сформулировал в виде двух теорем, которые доказываются от противного . Мы приведём лишь формулировки этих теорем и сфокусируем внимание на их приложениях (схема 10.2.1).
Термодинамическая шкала температур
Поскольку КПД не зависит от рабочего тела, то можно представить следующую процедуру построения шкалы температур.
В качестве нагревателя машины Карно берется некоторое стандартное тело, например, вода, кипящая при атмосферном давлении.
В качестве холодильника выбирается другое стандартное тело, например лед, тающий при атмосферном давлении.
Разность температур и (сами температуры пока не известны) делится на сто частей, чем устанавливается размер градуса абсолютной термодинамической шкалы температур.
Осуществляется обратимый цикл Карно с каким-либо телом.
Измеряются и . Согласно (10.2) и (10.9)
Кроме того . Из этих двух уравнений определяем и . Если требуется измерить температуру произвольного тела, то это тело следует использовать в качестве нагревателя, сохранив прежний холодильник с температурой . Затем необходимо осуществить цикл Карно и измерить и . Тогда справедливо равенство
Отсюда находится искомая температура .
Построенная таким образом шкала температур Кельвина, как мы уже знаем, совпадает со шкалой газового термометра. Из уравнения (10.10) следует, что нулем температуры является температура, при которой равно нулю. Более строгое рассмотрение принципов построения рациональной термодинамической шкалы температур дано в .
10.3. Метод циклов
С помощью первой теоремы Карно можно получить много важных соотношений между физическими величинами в дифференциальной форме, характеризующими систему в состоянии термодинамического равновесия. Для этого надо заставить систему надлежащим образом осуществить цикл Карно и применить к нему теорему Карно. Этот метод называется методом циклов . Проясним его сущность на примере решения следующей задачи.
Задача о нахождении зависимости внутренней энергии
макроскопического тела от его объема
Рассмотрим произвольное физически однородное тело, состояние которого характеризуется двумя параметрами и . Будем считать, что
известно его термическое уравнение состояния
Для того, чтобы в соответствии с методом циклов получить зависимость энергии от объема в дифференциальной форме, необходимо осуществить бесконечно малый цикл Карно над рассматриваемым телом таким образом, чтобы температуры изотерм отличались на . Изобразим подобный цикл на рис. 10.3. Как видно, верхняя изотерма имеет температуру , а нижняя .
Запишем КПД цикла Карно с одной стороны через температуры, а с другой – через полученное телом количество теплоты и совершенную им работу
Работа , произведенная телом в результате цикла 1234, численно равна заштрихованной площади параллелограмма 1234. Чтобы вычислить ее, проведем прямые 1-6и 2-5, параллельные оси давлений. Ясно, что искомая площадь равна площади параллелограмма 1256.
Высота этого параллелограмма численно равна приращению
– объема при изотермическом процессе 1-2.
Основание же 6-1дает приращение давления при повышении температуры на , когда объем системы поддерживается постоянным. Поэтому
Для работы цикла, которая численно равна его площади, получаем
Вычислим теперь количество теплоты отданное нагревателем телу на изотерме 1-2. Пренебрегая изменениями давления на участке 1-2, запишем согласно первому началу
Так как на изотерме 1-2температура постоянна, то
Подставив (10.14) в (10.13), получим
Теперь вернемся к (10.11). Выразим числитель и знаменатель правой части этого уравнения согласно (10.12) и (10.15). Тогда получим
Из (10.16) легко выразить частную производную. В итоге получаем искомое решение
Подобным образом можно найти зависимость давления насыщенного пара от температуры или закон изменения поверхностного натяжения с температурой и множество других закономерностей.
10.4. Неравенство Клаузиуса. Определение энтропии
На основе второй теоремы Карно можно получить неравенство, связывающее приведённую теплоту нагревателя и приведённую теплоту холодильника для цикла Карно. Воспользуемся математической записью второй теоремы Карно
где – КПД произвольного цикла с фиксированными температурами и .
Запишем это неравенство более детально
или, что, то же самое
Знак минус в этом неравенстве показывает, что и имеют разные знаки. Приведём окончательную форму соотношения (10.18), которую называют неравенством Клаузиуса для цикла Карно
Отметим, что знак равенства относится к равновесному циклу Карно, а знак неравенства к неравновесному (необратимому).
Неравенство Клаузиуса можно обобщить для произвольного цикла . Оно имеет следующий вид
здесь под , следует понимать температуру самой системы. Для обратимых процессов в (10.20) справедлив только знак равенства, а для необратимых – знак неравенства.
Запишем (10.20) для произвольного обратимого цикла
Из этого следует (см. 8.1), что бесконечно малая величина под интегралом в (10.21) является полным дифференциалом некоторой функции состояния. Обозначим её буквой . Эта термодинамическая функция называется энтропией
Равенство (10.22) определяет энтропию для обратимых процессов. Дальнейшему обсуждению этой важной термодинамической величины будет посвящена следующая лекция. Кроме того, свойства энтропии в окрестности абсолютного нуля температур мы рассмотрим при изучении третьего начала термодинамики.
10.5. Оценка эффективности тепловых машин сверху
В повседневной жизни мы постоянно используем различные виды тепловых машин. Наземные транспортные средства невозможно представить без бензинового двигателя внутреннего сгорания или дизельного мотора. На тепловых электростанциях работают паровые турбины. В небо нас уносят турбореактивные самолеты. В основе работы этих и многих других машин лежат различные циклические процессы и в них применяются разные рабочие вещества. У вас будет возможность научиться рассчитывать КПД и КИЭ на основе рассмотрения конкретных циклов Отто, Дизеля, Брайтона и других. Возникает вопрос, можно ли рассчитать показатели эффективности машины, не вдаваясь в детали ее работы. Оказывается можно, но, разумеется, приближенно. Вторая теорема Карно позволяет сделать оценки эффективности реальных машин сверху. Для этого нужно знать только максимальную температуру цикла машины и его минимальную температуру .
Полагая, что
будем рассчитывать КПД и КИЭ реальных машин по формулам цикла Карно. Эти формулы приведены на схеме 10.5.1.
Схема 10.5.1.
Примеры оценок эффективности тепловых машин сверху
КПД бензинового двигателя внутреннего сгорания
2427°C +273 = 2700 – температура воздушно-бензиновой смеси в момент ее воспламенения от искры свечи зажигания;
27°C+273 = 300 – температура наружного воздуха.
КПД реального теплового двигателя, работающего по циклу Отто, не превосходит 0,56.
Где А – атомная масса; m ед - атомная единица массы; N А - число Авогадро; моль μ – количество вещества, в котором содержится число молекул, равное числу атомов в 12 г изотопа углерода 12 С.
Теплоёмкость термодинамической системы зависит от того, как изменяется состояние системы при нагревании.
Если газ нагревать при постоянном объёме , то всё подводимое тепло идёт на нагревание газа, то есть изменение его внутренней энергии. Теплоёмкость при этом обозначается С V .
С Р – теплоемкость при постоянном давлении. Если нагревать газ при постоянном давлении Р в сосуде с поршнем, то поршень поднимется на некоторую высоту h , то есть газ совершит работу (рис. 4.2).
Рис. 4.2
Следовательно, проводимое тепло затрачивается и на нагревание и на совершение работы. Отсюда ясно, что .
Итак, проводимое тепло и теплоёмкость зависят от того, каким путём осуществляется передача тепла. Значит, Q и С не являются функциями состояния.
Величины С Р и С V оказываются связанными простыми соотношениями. Найдём их.
Пусть мы нагреваем один моль идеального газа при постоянном объёме(dA = 0). Тогда первое начало термодинамики запишем в виде:
| , | (4.2.3) |
Т.е. бесконечно малое приращение количества теплоты равно приращению внутренней энергии dU .
Теплоемкость при постоянном объёме будет равна:
Так как U может зависеть не только от температуры. Но в случае идеального газа справедлива формула (4.2.4).
Из (4.2.4) следует, что
 ,
|
При изобарическом процессе, кроме увеличения внутренней энергии, происходит совершение работы газом:
 .
|
Уравнение Майера связывает теплоемкости идеального газа в двух изопроцессах, тогда перейдем к самому его определению.
Теплоемкость. Уравнение Майера
Определение 1Переданное телу количество теплоты для его нагревания на 1 К получило название теплоемкости тела данной системы. Обозначение принимается буквой " С " :
С = δ Q d T (1) .
Значение теплоемкости единицы молярной массы тела:
c μ = C v (2) . Выражение называется молярной теплоемкостью.
Теплоемкость не считается функцией состояния, так как является характеристикой бесконечно близких состояний системы или выражается в качестве функции бесконечно малого процесса, совершаемого в системе. В количественном выражении это означает, что из (1) , применяя первое начало термодинамики, дифференциальная форма получится:
C = δ Q d T = d U + p d V d T (3) .
Уравнение Майера для идеального газа
Определение термодинамической системы производится при помощи трех параметров p , V , T . Существующее между ними отношение получило название уравнения состояния. Для идеального газа используется уравнение Менделеева-Клапейрона. Данная связь запишется в виде:
p = p (T , V) или T = T (p , V) , V = V (p , T) .
При выборе независимых переменных в качестве V и T внутренняя энергия системы выражается в виде функции U = U (T , V) . Получим, что значение полного дифференциала от внутренней энергии примет вид:
d U = ∂ U ∂ T V d T + ∂ U ∂ V T d V (4) .
Произведем подстановку из (4) в (3) , тогда
c = ∂ U ∂ T V d T + ∂ U ∂ V T d V + p d V d T = ∂ U ∂ T V + p + ∂ U ∂ V T d V d T (5) .
Исходя из формулы (5) , теплоемкость находится в зависимости от процесса. Если он изохорный, то
Значение теплоемкости изохорного процесса запишется как:
C V = ∂ U ∂ T V (6) .
При изобарном теплоемкость выражается через формулу:
C p = ∂ U ∂ T V + p + ∂ U ∂ V T ∂ V ∂ T p = C V + p + ∂ U ∂ V T ∂ V ∂ T p (7) .
Перейдем к рассмотрению исследуемой системе идеального газа. Запись малого приращения энергии идеального газа:
d U = i 2 v R d T (8) .
Отсюда следует:
d U d V T = 0 (9) .
Состояние идеального газа описывается при помощи уравнения Менделеева-Клапейрона:
p V = v R t (10) .
∂ V ∂ T p = v R p (11) .
Произведем подстановку в (7) из (10) и (11) :
C p = C V + p + 0 v R p = C V + v R (12) .
Выражение (12) называют выведенным соотношением Майера.
Или для молярных теплоемкостей:
C μ p = C μ V + R (13) .
Пример 1
Найти удельную теплоемкость смеси 16 г кислорода и 10 г гелия в процессе с постоянным давлением.
Решение
Если Q считается количеством тепла, получаемым смесью газов в процессе, то
Q = c p m ∆ T (1 . 1) , где m является массой смеси, c p – удельной теплоемкостью смеси при неизменном давлении.
Q O 2 - это количество тепла, получаемое кислородом:
Q O 2 = c p O 2 m O 2 ∆ T (1 . 2) , m O 2 выражается массой кислорода, c p O 2 – теплоемкостью кислорода с постоянным давлением.
Для гелия аналогично:
Q H e = c p H e m H e ∆ T (1 . 3) .
Кроме этого рассмотрим:
Q = c p m ∆ T = Q O 2 + Q H e = c p O 2 m O 2 ∆ T + c p H e m H e ∆ T (1 . 4) .
Нахождение массы смеси производится по закону сохранения массы:
m = m O 2 + m H e (1 . 5) .
Произведем выражение теплоемкости c p из (1 . 4) , учитывая (1 . 5) . Тогда имеем:
c p = c p O 2 m O 2 + c p H e m H e m O 2 + m H e (1 . 6) .
Существует связь между молярной теплоемкостью и удельной:
c μ = c · μ → c = c μ μ (1 . 7) .
Если c μ V = i 2 R , то по уравнению Роберта Майера c μ p = c μ V + R:
c μ p = i + 2 2 R (1 . 8) ; i H e = 3 , i O 2 = 5 .
В данном случае удельные теплоемкости запишутся как:
c p H e = 5 2 R μ H e , c p O 2 = 7 R 2 μ O 2 (1 . 9) .
Результатом будет записанная формула удельной теплоемкости смеси:
c p = 7 R 2 μ O 2 m O 2 + 5 2 R μ H e m H e m O 2 + m H e (1 . 10) .
Выполним подстановку:
c p = 3 , 5 · 8 , 31 · 16 32 + 2 , 5 · 8 , 31 · 10 4 26 = 14 , 5 + 51 , 94 26 = 2 , 56 Д ж г К.
Ответ: удельная теплоемкость смеси равняется 2 , 56 Д ж г К.
Пример 2
При проведении опытов Джоулем было получено, что с μ p - c μ V = 1 , 986 к а л К · м о л ь. Значение газовой постоянной, измеренной в механических единицах R = 8 , 314 · 10 7 э р г К · м о л ь. Определите, как соотносятся 1 к а л, э р г, Д ж.
Решение
Основой решения данного задания принято считать уравнение Майера, формула записывается:
с μ p = c μ V + R → c μ p - c μ V = R (2 . 1) .
Отсюда получим, что:
c μ p - c μ V = 1 , 986 к а л К · м о л ь = 8 , 314 · 10 7 э р г К · м о л ь → 1 к а л = 4 , 18 · 10 7 э р г = 4 , 18 Д ж.
Ответ: 1 к а л = 4 , 18 · 10 7 э р г = 4 , 18 Д ж.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Основой описания процессов в элементах пневмоавтоматики является первый закон термодинамики. Первый закон термодинамики является частным случаем закона сохранения энергии. Этот закон утверждает, что в изолированной системе сумма всех видов энергий является величиной постоянной.
Соотношение между теплотой и работой установлено Робертом Майером в 1842 году
В системе СИ тепловой эквивалент работы А = 1.
Немецкий врач и физик Юлиус Роберт фон Майер родился в Хейльбронне в семье аптекаря. Получив медицинское образование, он несколько месяцев работал в клиниках Парижа, после чего отправился в качестве корабельного врача на о. Ява. В течение годичного плавания (1840–1841 гг.) врач Майер пришел к своему великому открытию. По его словам, на этот вывод его натолкнули наблюдения над изменением цвета крови у людей в тропиках. Производя многочисленные кровопускания на рейде в Батавии, Майер заметил, что «кровь, выпускаемая из ручной вены, отличалась такой необыкновенной краснотой, что, судя по цвету, я мог бы думать, что я попал на артерию». Он сделал отсюда вывод, что «температурная разница между собственным теплом организма и теплом окружающей среды должна находиться в количественном соотношении с разницей в цвете обоих видов крови, т.е. артериальной и венозной... Эта разница в цвете является выражением размера потребления кислорода или силы процесса сгорания, происходящего в организме».
Во времена Майера было распространено учение о жизненной силе организма (витализм): живой организм действует благодаря наличию в нём особой жизненной силы. Тем самым физиологические процессы исключались из сферы физических и химических законов и обусловливались таинственной жизненной силой. Майер своим наблюдением показал, что организм управляется естественными физико-химическими законами, и прежде всего законом сохранения и превращения энергии. Вернувшись из путешествия, он тут же написал статью под заглавием «О количественном и качественном определении сил», которую направил 16 июня 1841 г. в журнал «Анналы...» И. Поггендорфу. В этой работе Майера, несмотря на некоторые несообразности, содержится вполне определённая и ясная формулировка закона сохранения и превращения силы, т. е. энергии. Поггендорф, однако, не напечатал статью и не вернул её автору, она пролежала в его письменном столе 36 лет, где и была обнаружена после смерти Поггендорфа. В 1842 г. Майер публикует другую статью в журнале «Анналы химии и фармации».
Эта работа Майера по праву считается основополагающей в истории закона сохранения и превращения энергии. Особенно важна идея Майера о качественном превращении сил (энергии) при их количественном сохранении. Майер подробно анализирует всевозможные формы превращения энергии в брошюре «Органическое движение в его связи с обменом вещества», вышедшей в Гейльбронне в 1845 г. Майер сначала думал опубликовать свою статью в тех же «Анналах химии и фармации», но их редактор Ю. Либих, сославшись на перегрузку журнала химическими статьями, посоветовал переслать статью в «Анналы» Поггендорфа. Майер, понимая, что Поггендорф поступит с ней так же, как со статьей 1841 г., решил опубликовать статью брошюрой за свой счет.
В своей брошюре Майер подробно подсчитывает механический эквивалент теплоты; он приводит данные по теплотворной способности углерода и обращает внимание на низкий коэффициент полезного действия тепловых машин, максимальное значение которого в современных ему машинах составляло 5–6%, а в локомотивах не достигало и одного процента. Рассматривая электризацию трением и действие электрофора, Майер указывает, что здесь «механический эффект превращается в электричество». Он делает вывод: затрата механического эффекта вызывает как электрическое, так и магнетическое напряжение. В заключение своего анализа Майер останавливается на «химической силе». Интересно, что вопрос о химической энергии у него сочетается с вопросом об энергетике солнечной системы. Он указывает, что поток солнечной энергии (силы), являющийся и на нашу Землю, «есть та непрестанно заводящаяся пружина, которая поддерживает в состоянии движения механизм всех происходящих на Земле деятельностей».
Майер закончил развитие своих идей к 1848 г., когда в брошюре «Динамика неба в популярном изложении» он поставил и сделал попытку решить важнейшую проблему об источнике солнечной энергии. Майер понял, что химическая энергия недостаточна для восполнения огромных расходов энергии Солнца. Однако из других источников энергии в его время была известна только механическая энергия. И Майер сделал вывод, что теплота Солнца восполняется бомбардировкой его метеоритами, падающими на него со всех сторон непрерывно из окружающего пространства. В работе 1851 г. «Замечания о механическом эквиваленте теплоты» Майер излагает сжато и популярно свои идеи о сохранении и превращении силы.
Работы Майера долго оставались незамеченными: первая статья не была опубликована вообще, вторая увидела свет в не читаемом физиками химическом журнале, третья – в частной брошюре. Вполне понятно, что открытие Майера не дошло до физиков, и закон сохранения энергии открывали независимо от него и другими путями другие авторы, прежде всего Дж. Джоуль и Г. Гельмгольц. Майер оказался втянутым в тягостно отразившийся на нём спор о приоритете; лишь в 1862 г. Р. Клаузиус и Дж. Тиндаль обратили внимание на исследования Майера. Оценка заслуг Майера в создании механической теории тепла вызвала в своё время ожесточённую полемику между Клаузиусом, Тиндалем, Джоулем и Дюрингом.
Майер, вынужденный отстаивать свой приоритет в открытии закона сохранения энергии, делал это в спокойном и достойном тоне, скрывая ту глубокую душевную травму, которая была нанесена ему «мелкой завистью цеховых ученых» и «невежеством окружающей среды», по словам К. А. Тимирязева. Достаточно сказать, что в 1850 г. он пытался покончить жизнь самоубийством, выбросившись из окна, и остался на всю жизнь хромым. Его травили в газетах, обвиняли скромного и честного учёного в мании величия, подвергли принудительному «лечению» в психиатрической больнице.
Майер умер 20 марта 1878 г. Незадолго до смерти, в 1874 г. вышло собрание его трудов по закону сохранения и превращения энергии под заглавием «Механика тепла». В 1876 г. вышли его последние сочинения «О торричеллиевой пустоте» и «Об освобождении сил». (См. далее).
Первый закон термодинамики утверждает, что теплота dq, подведенная к ТДС идет на совершение работы dl этой системой и на изменение внутренней энергии du ТДС.
dq = du + dl.
Под внутренней энергией термодинамической системы понимается вся энергия заключенная в этой системе. Эту энергию определяет энергия поступательного, вращательного и колебательного движения молекул, а также энергия взаимодействия молекул и атомов. Абсолютное значение внутренней энергии ТДС методами термодинамики не определяется. В технической термодинамике принято считать внутреннюю энергию ТДС при нулевой температуре равной нулю и рассматривать приращение внутренней энергии относительно этого уровня.
Поместим в одинаковые цилиндры по 1 кг одного и того же газа с одинаковыми параметрами и попытаемся нагреть этот газ до одной и той же температуры Т . В первом цилиндре поршень приварен к стенкам, а во втором – не встречает сопротивления при движении.
Для этого нужно подвести тепло, в первом цилиндре q v , а во втором – q p . При этом q v =с v (T 2 - T 1 ), q p =с p (T 2 - T 1 ).
Очевидно, что q p > q v , так как во втором случае теплота будет расходоваться не только на нагрев газа, но и на совершение работы (рис.6).
В данном случае
(см. рис.4). В свою очередь, так как p v= RT ,
Отсюда получим закон Майера:
с p -с v = R . (37)
В теплотехнических расчетах применяется отношение с p /с v =к, которое называется показателем адиабаты. Т.к. с p > с v , то к>1 .
С удовлетворительной инженерной точностью применительно ко всем двухатомным газам и воздуху можно считать с p и с v постоянными и равными:
с p = 1,004 кДж/кг град; с v = 0,716 кДж/кг град.
Тогда к =
3.3 Первый закон термодинамики
Согласно закону сохранения и превращения энергии, последняя не может быть ни создана, ни уничтожена, а может быть только преобразована из одного вида в другой при различных физических и химических процессах.
Исторически для измерения отдельных видов энергии принимались различные единицы – калории, кгм, джоули, кВт·ч, л.с.· ч и т.д. В связи с этим превращение энергии происходит не в численно равных, а в эквивалентных отношениях. Из физики известен тепловой эквивалент единицы работы: 1 кгм = 1/427 ккал.
Известны также следующие соотношения: 1 л.с.· ч = 632,3 ккал = 0,735 кВт ч; 1 кВт ч = 860 ккал.
Раньше нами было отмечено, что I закон является частным случаем всеобщего закона сохранения и превращения энергии применительно к процессам, протекающим в термодинамических системах. В общем случае I закон можно сформулировать следующим образом: “Полная энергия изолированной термодинамической системы при любых происходящих в системе процессах остается неизменной”.
Лишь через 100 лет после выводов Ломоносова, после его общей формулировки закона сохранения энергии, в 1842 г. Роберт Майер на основании опытов установил прямую пропорциональность между затраченной теплотой Q и полученной работой L и определил количественное соотношение между ними (если Q и L выражены в Дж):
Q = L . (38)
Раз теплота затрачена – она исчезла, в результате этого получена работа и наоборот. Т.е. применительно к тепловым и механическим явлениям первый закон может быть сформулирован следующим образом:
“Когда исчезает определенное количество тепловой энергии, возникает эквивалентное количество механической энергии (в виде совершенной работы) и наоборот”.
Утверждение первого закона способствовало прекращению попыток построить двигатель, вырабатывающий механическую энергию без потребления какого-либо другого вида энергии (например, выделяющейся при горении топлива) – «perpetuum mobile первого рода».
Уравнение первого закона в данном виде недостаточно полно характеризует баланс энергии в процессах изменения состояния газа. Эти процессы обычно протекают при теплообмене с газом, поэтому рассмотрим составляющие этого теплообмена.
Пусть в цилиндре с подвижным поршнем к 1 кг газа подводится бесконечно малое количество тепла dq . В этом случае увеличится кинетическая энергия поступательного движения молекул, вследствие чего газ совершит работу (выраженную перемещением поршня)
. Кроме этого, изменятся все виды энергии, присущие состоянию молекул – т.е. изменится внутренняя энергия газа. Таким образом, теплота расходуется на изменение внутренней энергии и совершение работы
dq = du + d
Из описания работы тепловых двигателей видно, что в термодинамике рассматривают две резко различающиеся группы физических изменений газа. В поршневых двигателях движение газа не значительно и им можно пренебречь.В ротативных тепловых двигателях (например, паровая турбина) изменение состояния газа сопровождается интенсивным (с большой скоростью W) движением рабочего тела. Для этого случая первый закон термодинамики запишется в виде
(Например, в ДВС W 1 = 0,1 м/сек, W 2 = 10 м/сек, в ПТУ W 1 = 0,1 м/сек W 2 = 1000 м/сек).