Näited lahendustest. L'Hopitali reeglid. Näited lahendustest L'Hopitali reeglinäited

Kaevude puurimine

Esitatakse meetod limiitide lahendamiseks L'Hopitali reegli abil. Antakse vastavate teoreemide sõnastused. Üksikasjalikult analüüsitakse näiteid piiride lahendamise kohta, mis sisaldavad määramatust ∞/∞, 0/0, 0 astmeni 0 ja ∞ - ∞, kasutades L'Hopitali reeglit.

Sisu

Vaata ka: Tuletisinstrumentide arvutamise reeglid

Lahenduse meetod

Üks võimsamaid meetodeid määramatuste avastamiseks ja funktsioonide piiride arvutamiseks on L'Hopitali reegli kasutamine. See võimaldab teil avaldada vormi ebakindlust 0/0 või ∞/∞ lõpp- või lõpmatus punktis, mida tähistame kui x 0 . L'Hopitali reegel on, et leiame murdosa lugeja ja nimetaja tuletised. Kui on piir,.
Kui pärast diferentseerimist saame jälle määramatuse, siis saab protsessi korrata, st L'Hôpitali reeglit saab piirile rakendada. Ja nii edasi, kuni ebakindlus ilmneb.

Selle reegli rakendamiseks peab olemas olema selline punkti x punkteeritud naabruskond 0 , millel funktsioonid lugejas ja nimetajas on diferentseeritavad ning nimetajas olev funktsioon ja selle tuletis ei kao kuhugi.

L'Hopitali reegli rakendamine koosneb järgmistest sammudest.
1) Vähendame määramatuse vormile 0/0 või ∞/∞. Selleks teostame vajadusel teisendusi ja asendame muutuja. Selle tulemusena saame vormi piirangu.
2) Veendume, et punkti x naabrus on selline torgatud 0 , millel funktsioonid lugejas ja nimetajas on diferentseeritavad ning nimetaja ja selle tuletis ei kao.
3) Leidke lugeja ja nimetaja tuletised.
4) Kui on olemas lõplik või lõpmatu piir, siis on ülesanne lahendatud: .
5) Kui limiiti ei ole, ei tähenda see, et algset limiiti ei eksisteeri. See tähendab, et seda probleemi ei saa lahendada L'Hopitali reegli abil. Peate kasutama teist meetodit (vt näidet allpool).
6) Kui limiidis tekib taas määramatus, siis saab sellele rakendada ka L'Hopitali reeglit, alates punktist 2).

Nagu eespool öeldud, võib L'Hopitali reegli rakendamise tulemuseks olla funktsioon, millele pole piiranguid. See aga ei tähenda, et esialgset limiiti poleks. Mõelge järgmisele näitele.
.
Rakendame L'Hopitali reeglit. , .
Piiratust siiski pole. Sellest hoolimata on algsel funktsioonil piirang:
.

L'Hopitali reegel. Teoreemide väited

Siin esitame teoreemide sõnastused, millel põhineb määramatuste avalikustamine L'Hopitali reegli järgi.

Määramatuse avalikustamise teoreem 0/0
Olgu funktsioonidel f ja g tuletised lõpliku või lõpmatult kauge () punkti punkteeritud (kahe- või ühepoolses) ümbruses ja need ei tohi olla selles naabruses võrdsed nulliga. Lase sel minna
.
,
siis on sellega võrdne piirang
.

Määramatuse avalikustamise teoreem ∞/∞
Olgu funktsioonidel f ja g tuletised lõpliku või lõpmatult kauge () punkti punkteeritud (kahe- või ühepoolses) ümbruses ja need ei tohi olla selles naabruses võrdsed nulliga. Lase sel minna
.
Siis, kui on olemas lõplik või lõpmatu piir
,
siis on sellega võrdne piirang
.
Siin on kahesuunaline naabruskond. Ühepoolse naabruskonna jaoks või .

Näited

Näide 1

Näidake, et eksponentsiaal kasvab kiiremini kui ükski võimsusfunktsioon ja logaritm kasvab aeglasemalt. See tähendab, et seda näidata
A) ;
B) ,
Kus.

Kaaluge piiri A). Kell . See on liigimääramatus. Selle paljastamiseks rakendame L'Hopitali reeglit. Lase
.
Tuletisinstrumentide leidmine. . Siis
.
Kui , siis ebakindlus kaob, millest alates . L'Hopitali reegli kohaselt
.

Kui , siis rakendame L'Hopitali reeglit n korda, kus on arvu b täisarv.
;

.
Sest siis. Kuigi me oleme harjunud lugema vasakult paremale, tuleks seda võrdsuste jada lugeda paremalt vasakule järgmiselt. Kuna on piir, siis on ka võrdne piir. Kuna on piir, siis on ka võrdne piir. Ja nii edasi, kuni jõuame piirini.

Nüüd kaaluge piiri B):
. Teeme muutuja muudatuse. Siis ; kell ; .

Näide 2

Leidke piirmäär L'Hopitali reegli abil:
.

See on vormi ebakindlus 0/0 . Leiame selle L'Hopitali reegli abil.

.

Siin tekkis pärast reegli esmakordset rakendamist taas ebakindlus. Seetõttu rakendati L'Hopitali reeglit teist korda. Seda võrdsuste jada tuleks lugeda paremalt vasakule järgmiselt. Kuna on piir, siis on ka võrdne piir. Kuna piirang on olemas, siis on sellega võrdne ka algne limiit.

Näide 3

Arvutage piirmäär L'Hopitali reegli abil.
.

Leiame lugeja ja nimetaja väärtused aadressilt:
;

.
Lugeja ja nimetaja on võrdsed nulliga. Meil on vormi osas ebakindlus 0/0 . Selle paljastamiseks rakendame L'Hopitali reeglit.

Näide 4

Lahendage piirmäär L'Hopitali reegli abil.
.

Siin on vormi määramatus (+0) +0 . Teisendame selle vormiks +∞/+∞. Selleks teostame teisendusi.
.

L'Hopitali reegli abil leiame astmelise piirangu.
.

Kuna eksponent on argumendi kõigi väärtuste pidev funktsioon, siis
.

Näide 5

Leidke piirmäär L'Hopitali reegli abil:
.

Siin on vormi ∞ - ∞ määramatus. Vähendades murde ühiseks nimetajaks, taandame selle vormi määramatuseni 0/0 :
.

Rakendame L'Hopitali reeglit.
;
;
.

Siin on meil jälle vormi ebakindlus 0/0 . Rakendame uuesti L'Hopitali reeglit.
;

;
.

Lõpuks on meil:

.
Nagu kõigi L'Hopitali reegli järgi arvutatud limiitide puhul, peate lugema lõpust. Kuna on piir, siis on ka võrdne piir. Kuna piirang on olemas, siis on sellega võrdne ka algne limiit.

Märge. Arvutusi saate lihtsustada, kui kasutate jagatispiiris funktsioonide asendamise teoreemi samaväärsetega. Selle teoreemi kohaselt, kui funktsioon on tegurite murdosa või korrutis, saab tegurid asendada samaväärsete funktsioonidega. Alates kell , siis

.

Viited:
L.D. Kudrjavtsev, A.D. Kutasov, V.I. Tšehlov, M.I. Šabunin. Matemaatilise analüüsi ülesannete kogu. 1. köide. Moskva, 2003.

Vaata ka:

L'Hopitali reegli rakendamine on vajalik piirmäärade arvutamiseks, kui saadakse määramatused kujul 0 0 ja ∞ ∞.

Määramatused on kujul 0 · ∞ ja ∞ - ∞.

L'Hopitali reegli kõige olulisem osa on funktsiooni eristamine ja selle tuletise leidmine.

L'Hopitali reegel

Definitsioon 1

Kui lim x → x 0 f (x) g (x) = 0 0 või ∞ ∞ ja funktsioonid f (x), g (x) on diferentseeruvad punktis x 0, siis lim x → x 0 f (x) g (x) = lim x → x 0 f " (x) g " (x) .

Kui määramatus on pärast L'Hopitali reegli rakendamist lahendamatu, tuleb seda uuesti rakendada. Täieliku kontseptsiooni jaoks vaatame mõnda näidet.

Näide 1

Tehke arvutused, kasutades L'Hopitali reeglit lim x → 0 sin 2 (3 x) x · cos (x) .

Lahendus

L'Hopitali reegli abil lahendamiseks peate esmalt tegema asendus. Saame, et lim x → 0 sin 2 (3 x) x · cos (x) = sin 2 (3 · 0) 0 · cos (0) = 0 0 .

Nüüd saate reegli abil piirangute arvutamist jätkata. Me saame sellest aru

lim x → 0 sin 2 (3 x) x cos (x) = 0 0 = lim x → 0 sin 2 (3 x) " x cos (x) " = lim x → 0 2 sin (3 x) ( sin ( 3 x)) " x " cos (x) + x (cos (x)) " = = lim x → 0 6 sin (3 x) cos (3 x) cos (x) - x sin ( x) = 6 sin (3 0) cos (3 0) cos (0) - 0 sin (0) = 0 1 = 0

Vastus: lim x → 0 sin 2 (3 x) x · cos (x) = 0 .

Näide 2

Arvutage antud funktsiooni lim x → ∞ ln (x) x piir.

Lahendus

Lavastame lõpmatusega. Me saame sellest aru

lim x → ∞ ln (x) x = ln (∞) ∞ = ∞ ∞

Sellest tulenev ebakindlus näitab, et L'Hopitali reeglit tuleb rakendada. Meil on see

lim x → ∞ ln (x) x = ∞ ∞ = lim x → ∞ ln (x) " x " = lim x → ∞ 1 x 1 = 1 ∞ = 0

Vastus: lim x → ∞ ln (x) x = 0

Näide 3

Arvutage antud funktsiooni limiit lim x → 0 + 0 (x 4 ln (x))

Lahendus

Asendame väärtuse x. me saame sellest aru

lim x → 0 + 0 (x 4 ln (x)) = (0 + 0) 4 ln (0 + 0) = 0 (- ∞)

Lahendus andis tulemuseks vormi määramatuse, mis on null korda negatiivne lõpmatus. See näitab, et on vaja tutvuda määramatuse tabeliga ja teha otsuseid selle piiri leidmise meetodi valimiseks. Pärast teisendust rakendame L'Hopitali reeglit. Me saame sellest aru

lim x → 0 + 0 (x 4 ln (x)) = 0 (- ∞) = lim x → 0 + 0 ln (x) x - 4 = ln (0 + 0) (0 + 0) - 4 = - ∞ + ∞

Ebakindluse saabumine viitab sellele, et seda reeglit on vaja uuesti rakendada. Meil on see

lim x → 0 + 0 (x 4 ln (x)) = 0 (- ∞) = lim x → 0 + 0 ln (x) x - 4 = - ∞ + ∞ = = lim x → 0 + 0 (ln ( x)) "(x - 4)" = lim x → 0 + 0 1 x - 4 - 5 = - 1 4 lim x → 0 + 0 1 x - 4 = - 1 4 1 (0 + 0) - 4 = = -1 4 · (0 + 0) 4 = 0

Vastus: lim x → 0 + 0 (x 4 ln (x)) = 0

Näide 4

Arvutage funktsiooni lim x → 0 c t g 2 (x) - 1 x 2 piirmäär.

Lahendus

Pärast asendamist saame

lim x → 0 c t g 2 (x) - 1 x 2 = ∞ - ∞

Ebakindluse olemasolu näitab, et tuleks kasutada L'Hopitali reeglit. Me saame sellest aru

lim x → 0 c t g 2 (x) - 1 x 2 = ∞ - ∞ = lim x → 0 cos 2 (x) sin 2 (x) - 1 x 2 = = lim x → 0 x 2 cos 2 (x) - sin 2 (x) x 2 sin 2 (x) = lim x → 0 x cos x - sin x x cos x + sin x x 2 sin 2 (x) = = lim x → 0 x cos x - sin x x sin 2 (x) ) x cos x + sin x x = lim x → 0 x cos x - sin x x sin 2 (x) cos x + sin x x = = lim x → 0 cos x + sin x x lim x → 0 x cos x - sin x x sin 2 (x) = 2 lim x → 0 x cos x - sin x x sin 2 (x) = = 2 0 cos (0) - sin (0) 0 sin 2 (0) = 0 0

Viimase ülemineku puhul kasutati esimest tähelepanuväärset piiri. Pärast mida jõuame L'Hopitali järgi lahenduseni. Me saame sellest aru

2 lim x → 0 x cos x - sin x x sin 2 (x) = 0 0 = 2 lim x → 0 (x cos x - sin x) " (x sin 2 (x)) " = = 2 lim x → 0 cos x - x sin x - cos x sin 2 (x) + 2 x sin x cos x = 2 lim x → 0 - x sin (x) + 2 x cos x = 0 0

Kuna ebakindlus pole kadunud, on vaja L'Hopitali reeglit uuesti rakendada. Saame vormi limiidi

2 lim x → 0 - x sin (x) + 2 x cos x = 0 0 = 2 lim x → 0 - x " sin (x) + 2 x cos x " = = 2 lim x → 0 1 cos x + 2 cos x - 2 x sin x = - 2 1 3 cos (0) - 2 0 sin (0) = - 2 3

Vastus: lim x → 0 c t g 2 (x) - 1 x 2 = - 2 3

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Oleme juba hakanud mõistma piire ja nende lahendust. Jätkame jälitamist ja mõtleme välja, kuidas piirid lahendada L'Hopitali reegli järgi. See lihtne reegel aitab teil pääseda välja salakavalatest ja keerulistest lõksudest, mida õpetajad armastavad kasutada kõrgema matemaatika ja arvutuse testide näidetes. L'Hopitali reeglit kasutav lahendus on lihtne ja kiire. Peaasi, et osatakse eristada.

L'Hopitali reegel: ajalugu ja määratlus

Tegelikult pole see just L'Hopitali reegel, vaid reegel L'Hopital-Bernoulli. Selle sõnastas Šveitsi matemaatik Johann Bernoulli ja prantslane Guillaume L'Hopital avaldas esmakordselt oma õpikus Infinitesimals in the hiilgavas 1696 aastal. Kas kujutate ette, kuidas inimesed pidid piirid lahendama ebakindluse paljastamisega enne, kui see juhtus? Me ei ole.

Enne L'Hopitali reegli analüüsima asumist soovitame lugeda sissejuhatavat artiklit matemaatika piiridest ja nende lahendamise meetoditest. Sageli on ülesannetes sõnastus: leidke piir ilma L'Hopitali reeglit kasutamata. Lugege meie artiklist tehnikate kohta, mis teid selles aitavad.

Kui teil on tegemist kahe funktsiooni murdarvu piiridega, olge valmis: peagi kohtate ebakindlust kujul 0/0 või lõpmatus/lõpmatus. Mida see tähendab? Avaldise lugeja ja nimetaja kipuvad olema null või lõpmatus. Mida sellise limiidiga peale hakata, on esmapilgul täiesti ebaselge. Kui aga rakendada L'Hopitali reeglit ja veidi mõelda, loksub kõik paika.

Kuid sõnastagem L'Hopital-Bernoulli reegel. Kui olla täiesti täpne, väljendatakse seda teoreemiga. L'Hopitali reegel, määratlus:

Kui kaks funktsiooni on punkti naabruses diferentseeruvad x=a haihtuvad siinkohal ja nende funktsioonide tuletiste suhtel on piir, siis millal X poole püüdlemas A funktsioonide endi suhtel on piirmäär, mis on võrdne tuletiste suhte piiranguga.

Kirjutame valemi üles ja kõik muutub kohe lihtsamaks. L'Hopitali reegel, valem:

Kuna meid huvitab küsimuse praktiline pool, siis me selle teoreemi tõestust siin ei anna. Peate kas meie sõna järgima või leidma selle mis tahes matemaatilise analüüsi õpikust ja veenduma, et teoreem vastab tõele.

Muideks! Meie lugejatele on nüüd 10% allahindlus mis tahes tüüpi tööd

Määramatuse avalikustamine L'Hopitali reegli abil

Milliseid ebakindlusi aitab L'Hopitali reegel lahendada? Varem rääkisime peamiselt ebakindlusest 0/0 . See pole aga kaugeltki ainus ebakindlus, millega võib kokku puutuda. Siin on muud tüüpi määramatused:

Vaatleme teisendusi, mille abil saab need määramatused viia kujule 0/0 või lõpmatus/lõpmatus. Pärast teisendamist saate rakendada L'Hopital-Bernoulli reeglit ja klõpsata näidetel nagu pähklid.

Liigimääramatus lõpmatus/lõpmatus taandub vormi ebakindlusele 0/0 lihtne teisendus:

Olgu kahe funktsiooni korrutis, millest üks kipub nulli ja teine - lõpmatuseni. Rakendame teisenduse ning nulli ja lõpmatuse korrutis muutub määramatuseks 0/0 :

Et leida piire ebakindlusega nagu lõpmatus miinus lõpmatus kasutame järgmist teisendust, mis viib määramatuseni 0/0 :

L'Hopitali reegli kasutamiseks peate suutma võtta tuletisi. Allpool on tabel elementaarfunktsioonide tuletistest, mida saate näidete lahendamisel kasutada, samuti keerukate funktsioonide tuletiste arvutamise reeglid:

Liigume nüüd näidete juurde.

Näide 1

Leidke piirmäär L'Hopitali reegli abil:

Näide 2

Arvutage L'Hopitali reegli abil:

Oluline punkt! Kui teise ja järgnevate tuletisfunktsioonide piir on olemas X poole püüdlemas A , siis saab L'Hopitali reeglit mitu korda rakendada.

Leiame piiri ( n - naturaalarv). Selleks rakendame L'Hopitali reeglit n üks kord:

Soovime teile edu matemaatilise analüüsi valdamisel. Ja kui teil on vaja leida L'Hopitali reegli abil piir, kirjutada L'Hopitali reeglit kasutades essee, arvutada diferentsiaalvõrrandi juured või isegi arvutada keha inertsi tensor, võtke ühendust meie autoritega. Nad aitavad teil hea meelega mõista lahenduse keerukust.

L'Hopitali reegel ja ebakindluse avalikustamine
Tüüpide "null jagatud nulliga" ja "lõpmatus jagatud lõpmatusega" tüüpide määramatuste avalikustamine
Vormi "null korda lõpmatus" määramatuste paljastamine
Tüüpide "null nulli astmeni", "lõpmatus nulli astmeni" ja "üks lõpmatuse astmeni" määramatuste avalikustamine
Vormi "lõpmatus miinus lõpmatus" määramatuste avalikustamine

L'Hopitali reegel ja ebakindluse avalikustamine

Vormi 0/0 või ∞/∞ määramatuste ja mõne muu määramatuse avalikustamine on L'Hopitali reegli abil oluliselt lihtsustatud.

Sisuliselt L'Hopitali reeglid on see, et juhul, kui kahe funktsiooni suhtarvu piiri arvutamisel saadakse määramatused kujul 0/0 või ∞/∞, saab kahe funktsiooni suhte piiri asendada nende tuletiste suhte piiriga ja seega saavutage kindel tulemus.

Üldiselt tähendavad L'Hopitali reeglid mitmeid teoreeme, mida saab väljendada järgmises ühes sõnastuses.

L'Hopitali reegel. Kui funktsioonid f(x) Ja g(x) on eristatavad punkti teatud naabruses, v.a punkt ise, ja selles naabruses

(1)

Teisisõnu, kujuga 0/0 või ∞/∞ määramatuste puhul on kahe funktsiooni suhte piir võrdne nende tuletise suhte piiriga, kui viimane on olemas (lõplik või lõpmatu).

Võrdsuses (1) võib muutuja väärtus olla kas lõplik arv, lõpmatus või miinus lõpmatus.

Teist tüüpi määramatused saab taandada ka 0/0 ja ∞/∞ tüüpi määramatusteks.

Tüüpide "null jagatud nulliga" ja "lõpmatus jagatud lõpmatusega" tüüpide määramatuste avalikustamine

Näide 1. Arvutama

x=2 toob kaasa ebakindluse kujul 0/0. Seetõttu rakendame L'Hopitali reeglit:

Näide 2. Arvutama

Lahendus. Väärtuse asendamine etteantud funktsiooniga x

Näide 3. Arvutama

Lahendus. Väärtuse asendamine etteantud funktsiooniga x=0 toob kaasa ebakindluse kujul 0/0. Seetõttu rakendame L'Hopitali reeglit:

Näide 4. Arvutama

Lahendus. Väärtuse x, mis on võrdne pluss lõpmatusega, asendamine antud funktsiooniga toob kaasa kuju ∞/∞ määramatuse. Seetõttu rakendame L'Hopitali reeglit:

Kommenteeri. Kui tuletissuhte piiriks on määramatus kujul 0/0 või ∞/∞, siis saab uuesti rakendada L'Hopitali reeglit, s.t. minna teise tuletise suhte piirini jne.

Näide 5. Arvutama

Lahendus. Leiame

Siin rakendatakse L'Hopitali reeglit kaks korda, kuna nii funktsioonide suhte piir kui ka tuletiste suhte piir annavad määramatuse kujul ∞/∞.

Näide 6. Arvutama

Kujutage ette punnis silmadega varblaste karja. Ei, see pole äike, mitte orkaan ega isegi väike poiss, kellel on kada käes. Lihtsalt tohutu suur kahurikuul lendab tibude sekka. Täpselt nii L'Hopitali reeglid tegelema piiridega, milles määramatus või .

L'Hôpitali reeglid on väga võimas meetod, mis võimaldab teil need määramatused kiiresti ja tõhusalt kõrvaldada; pole juhus, et probleemide, testide ja testide kogumitest leiate sageli stabiilse templi: "arvutage piir, ilma L'Hopitali reeglit kasutamata" Paksus kirjas olevat nõuet saab puhta südametunnistusega rakendada igale tunnipiirangule Piirid. Näited lahendustest, Imelised piirid. Limiitide lahendamise meetodid, Märkimisväärsed samaväärsused, kus esineb määramatus “nullist nullini” või “lõpmatusest lõpmatuseni”. Isegi kui ülesanne on sõnastatud lühidalt - "arvutage piirid", mõistetakse vaikimisi, et kasutate kõike, kuid mitte L'Hopitali reegleid.

Kokku on kaks reeglit ja need on üksteisega väga sarnased nii olemuselt kui ka rakendusviisilt. Lisaks otsestele teemakohastele näidetele uurime ka täiendavat materjali, mis tuleb kasuks matemaatilise analüüsi edasisel uurimisel.

Teen kohe reservatsiooni, et reeglid esitatakse lakoonilises “praktilises” vormis ja kui pead sooritama teooriaeksami, siis soovitan rangemate arvutuste tegemiseks pöörduda õpiku poole.

L'Hopitali esimene reegel

Vaatleme funktsioone, mis lõpmatult väike mingil hetkel. Kui nende suhetel on piir, siis võime ebakindluse kaotamiseks võtta kaks derivaadid- lugejast ja nimetajast. Kus: , see on .

Märge : Limiit peab samuti olemas olema, muidu reegel ei kehti.

Mis eeltoodust järeldub?

Esiteks peate suutma leida funktsioonide tuletised ja mida parem, seda parem =)

Teiseks võetakse tuletised ERALDI lugejast ja ERALDI nimetajast. Palun ärge ajage segi jagandite diferentseerimise reegliga !!!

Ja kolmandaks, “X” võib kalduda kõikjale, sealhulgas lõpmatuseni – seni, kuni on ebakindlus.

Tuleme tagasi esimese artikli näite 5 juurde piiride kohta, mis andis järgmise tulemuse:

Määramatuse 0:0 puhul rakendame L'Hôpitali esimest reeglit:

Nagu näha, viis lugeja ja nimetaja eristamine meid vastuseni poole käiguga: leidsime kaks lihtsat tuletist, asendasime neis “kahe” ja selgus, et määramatus kadus jäljetult!

Pole harvad juhud, kui L'Hopitali reegleid rakendatakse järjestikku kaks või enam korda (see kehtib ka teise reegli kohta). Võtame selle välja retroõhtuks 2. õppetunni näide imeliste piiride kohta:

Narivoodil jahtuvad taas kaks bagelit. Rakendame L'Hopitali reeglit:

Pange tähele, et esimeses etapis võetakse nimetaja kompleksfunktsiooni tuletis. Pärast seda viime läbi mitmeid vahepealseid lihtsustusi, eelkõige vabaneme koosinusest, mis näitab, et see kipub ühtsuma. Ebakindlust ei kõrvaldata, seega rakendame uuesti L'Hopitali reeglit (teine rida).

Valisin meelega mitte nii lihtsa näite, et saaksite väikese enesetesti teha. Kui pole päris selge, kuidas need leiti derivaadid, peaksite oma eristamistehnikat tugevdama. Kui koosinustrikk pole selge, minge tagasi tähelepanuväärsed piirid. Ma ei näe samm-sammult kommentaarides erilist mõtet, kuna olen tuletistest ja limiitidest juba piisavalt üksikasjalikult rääkinud. Artikli uudsus seisneb reeglites endis ja mõningates tehnilistes lahendustes.

Nagu juba märgitud, ei pea enamikul juhtudel L'Hopitali reegleid kasutama, kuid neid on sageli soovitatav kasutada lahenduse ligikaudseks kontrollimiseks. Sageli, kuid mitte alati. Nii on näiteks just vaadeldud näidet palju tulusam läbi vaadata imelised samaväärsused.

L'Hopitali teine reegel

Vend-2 võitleb kahe magava kaheksaga. Samamoodi:

Kui on suhtepiirang lõpmatult suur funktsiooni punktis: , siis ebakindluse kõrvaldamiseks võime võtta kaks tuletist– ERALDI lugejast ja ERALDI nimetajast. Kus: , see on lugeja ja nimetaja eristamisel piiri väärtus ei muutu.

Märge : peab olema piir

Jällegi erinevates praktilistes näidetes tähendus võib olla erinev, sealhulgas lõpmatu. Oluline on, et valitseks ebakindlus.

Kontrollime esimese õppetunni näidet nr 3: . Kasutame L'Hopitali teist reeglit:

Kuna me räägime hiiglastest, siis vaatame kahte kanoonilist piiri:

Näide 1

Arvutage limiit

“Tavapäraste” meetoditega pole lihtne vastust saada, seetõttu kasutame ebakindluse “lõpmatuseni” paljastamiseks L’Hopitali reeglit:

Seega lineaarfunktsioon, mis on kõrgema kasvuastmega kui logaritm, mille alus on suurem kui üks( jne.). Muidugi tõmbavad sellised logaritmid ka kõrgemate jõududega X-id. Tõepoolest, funktsioon kasvab üsna aeglaselt ja selle ajakava on sama "X" suhtes lamedam.

Näide 2

Arvutage limiit

Veel üks tuttav kaader. Ebakindluse kõrvaldamiseks kasutame L'Hopitali reeglit, pealegi kaks korda järjest:

Eksponentfunktsioon, mille alus on suurem kui üks( jne.) kõrgem kasvujärk kui positiivse astmega võimsusfunktsioon.

Sarnased piirangud tekivad ajal täielik funktsiooni uuring, nimelt leidmisel graafikute asümptoodid. Need on märgatavad ka mõne ülesande puhul tõenäosusteooria. Soovitan teil võtta arvesse kahte käsitletud näidet; see on üks väheseid juhtumeid, kui pole midagi paremat kui lugeja ja nimetaja eristamine.

Lisaks ei tee ma tekstis vahet L'Hôpitali esimesel ja teisel reeglil, seda tehti ainult artikli struktureerimise eesmärgil. Üldiselt on minu arvates mõnevõrra kahjulik matemaatika aksioomide, teoreemide, reeglite, omaduste liigne arv, kuna sellised fraasid nagu "vastavalt teoreemi 19. järeldusele 3..." on informatiivsed ainult konkreetse õpiku raames. . Teises teabeallikas on sama asi "Järeldus 2 ja teoreem 3". Sellised väited on formaalsed ja mugavad ainult autoritele endile. Ideaalis on parem viidata matemaatilise fakti olemusele. Erandiks on ajalooliselt väljakujunenud terminid, näiteks esimene imeline piir või teine imeline piir.

Jätkame teema arendamist, mille pakkus meile välja Pariisi Teaduste Akadeemia liige markii Guillaume Francois de L'Hopital. Artikkel omandab selgelt väljendunud praktilise maitse ja üsna tavalises ülesandes on see nõutav:

Soojenduseks tegeleme paari väikese varblasega:

Näide 3

Limiiti saab esmalt lihtsustada koosinusest vabanemisega, kuid austagem tingimust ja eristagem kohe lugeja ja nimetaja:

Tuletiste leidmise protsessis pole midagi ebastandardset, näiteks nimetaja kasutab tavalist diferentseerimise reegel töötab .

Vaadeldav näide lahendatakse läbi imelised piirid, sarnast juhtumit käsitletakse artikli Keerulised piirid lõpus.

Näide 4